Схема исследования функций и построения кривых

1. Найти область определения функции .

2. Отметить особенности функции (периодичность, четность и нечетность, сохранение знака), найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Если граничные точки области определения функции принадлежат ей, то найти значение функции в этих точках, в противном случае – выяснить поведение функции в окрестности этих точек. Найти вертикальные асимптоты, если они существуют.

4. Исследовать поведение функции при и при , найти горизонтальные или наклонные асимптоты или убедиться в их отсутствии.

5. Найти интервалы монотонности функции и точки экстремума.

6. Указать интервалы сохранения направления выпуклости и точки перегиба графика функции.

По результатам исследования функции строится ее график.

Пример 5.11.Исследовать функции и построить их графики:

1. ;
2. .

1. .

А) Область определения функции ; при , .

Б) Вертикальных асимптот нет, т. к. функция непрерывна при всех . Найдем наклонные асимптоты :

;
;
.
Следовательно, при имеем правую горизонтальную асимптоту

; при наклонных и горизонтальных асимптот нет.

В)

- + -

Рис. 5.12. Исследование знака производной и поведения функции

Определим промежутки монотонности и локальные экстремумы данной функции. Первая производная функции

. Находим критические точки:

при

не существует при

. При

и при

, при

. На каждом из промежутков

функция убывает, на промежутке

функция возрастает (рис. 5.12) .

Точка локального минимума ; локального максимума ; в точке – вертикальная полукасательная .

Г) Определим промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции. Вторая производная равна . Найдем корни уравнения : . Так как при и при , то на этих интервалах график функции является выпуклым вниз. Аналогично при , т. е. на соответствующих интервалах график функции выпуклый вверх, рис. 5. 13.

у È х₁Ç 0 Ç х₂È х

+ – – +

Рис. 5.13. Исследование знака второй производной и поведения функции

Точки перегиба графика функции

. Здесь

. График функции представлен на рис. 5.14.

Рис. 5.14. График функции

2. .

Область определения ; при и при . При , а при . Точки и являются точками пересечения графика функции с осями координат.

А) Вертикальных асимптот нет, так как функция определена и непрерывна на множестве действительных чисел. Для наклонной асимптоты найдем коэффициенты:

т. е. – наклонная асимптота.

Б) Найдем производную ; при и не существует при и при .

+ + - + у х

Рис. 5.15. Исследование знака производной и поведения функции

При

; при

. На промежутке

функция убывает, на промежутках

возрастает (рис. 5.15). В точке (-2;

) функция имеет локальный максимум, в точке

локальный минимум. Отметим, что

, т. е. график функции имеет в этой точке горизонтальную касательную. В точке (-3; 0) имеем вертикальную касательную

(функция

в точке

непрерывна и

). Поскольку

непрерывна в нуле и

; то полупрямая

является и левой и правой полукасательной к графику функции в точке

Определим промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции. Находим вторую производную . Знаки второй производной: при и при , при (рис. 5.16). Точка перегиба графика функции . На промежутке график функции выпуклый вниз; на промежутках и (0; +¥) – выпуклый вверх.

+ - -

y È -3 Ç 0 Ç х

Рис. 5.16. Исследование знака второй производной и поведения функции

График функции представлен на рис. 5.17.

Рис. 5.17.График функции

[1] Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – знаменитый французский математик и механик, член Парижской АН. Ему принадлежат выдающиеся исследования по различным вопросам математического анализа, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям, астрологии и др.

[2] Исаак Ньютон (1642–1727) – английский физик, механик, астроном и математик. Разработал (наряду с Лейбницем) основы дифференциального и интегрального исчисления.

[3] Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) – немецкий философ-идеалист, физик, математик, изобретатель, историк. В математике важнейшей заслугой Лейбница (наряду с И.Ньютоном и независимо от него) является разработка дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц изобрел первый интегрирующий механизм и уникальную для того времени счетную машину.

[4] Пьер Ферма (1601–1665 гг.) – выдающийся французский математик, по профессии юрист. Ферма является одним из создателей теории чисел. Сформулированная им теорема о том, что уравнение не разрешимо в целых числах, была доказана только в 1994 г. Эндрю Уайлсом.

[5] Мишель Ролль (1652 –1719 гг.) – французский математик. Его исследования были не замечены и забыты современниками, и по достоинству оценены намного позже.

[6] Коши Огюстен Луи (1789–1857) – французский математик, один из наиболее активных творцов современного языка и аппарата классического анализа.

[7] Иоганн Бернулли (1667–1748) – швейцарский математик, младший брат Якоба Бернулли. Сотрудничал с Лейбницем в разработке дифференциального и интегрального исчислений. Продвинул теорию дифференциальных уравнений, исследования в области механики и др.

[8] Лопиталь Гийом Франсуа Антуан (1661–1704) – французский математик, автор первого учебника по дифференциальному исчислению (1696), в основу которого легли лекции швейцарского математика Иоганна Бернулли.

[9] Брук Тейлор (1685 –1731) – английский математик. Ему принадлежат заслуги в разработке теории конечных разностей, автор работ о полете снарядов, взаимодействии магнитов, капиллярности и др.

[10] Джузеппе Пеано (1858 – 1932) – итальянский математик. Занимался формально логическим обоснованием математики. Известен его пример непрерывной (жордановой) кривой, целиком заполняющей некоторый квадрат.

[11] Колин Маклорен (1698–1746) – шотландский математик. Математические исследования относятся к анализу (теория рядов, конечные разности), ряд работ к механике.

1 2 34

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: