Сделай Сам Свою Работу на 5

Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)

Теорема о нахождении предела отношения функций через предел отношения производных

Пусть функции и :

1) определены и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки ;

2) и в этой окрестности;

3) существует (конечный или бесконечный);

4) или .

Тогда существует , причем

.

Замечание. Правило Лопиталя можно рассматривать и в случае . В этом случае достаточно сделать замену и воспользоваться результатом теоремы.

Доказательство. Рассмотрим случай . Доопределим функции и в точке : и . Так как теперь , то функции и будут непрерывны в точке . Поэтому на отрезке , где – любая точка окрестности точки , функции и непрерывны, дифференцируемы и . Поэтому применима теорема Коши: .

Если , то и поэтому .

Случай оставляем без доказательства.

Замечания.

1.При применении правила Лопиталя дифференцируется числитель и знаменатель дроби отдельно.

2. Правило Лопиталя применяется только к дробям.

Чтобы применить правило Лопиталя для неопределенностей вида , , , и т. д., нужно предварительно исследуемое выражение преобразовать к дроби. Рассмотрим примеры раскрытия некоторых неопределенностей.

Неопределенность : .

Неопределенность :

Неопределенности , , :

.

Пример 4.5. Вычислить предел .

Решение. .

Пример 4.6. Вычислить предел .

Решение.

.

Пример 4.7. Вычислить предел .

Решение. .

Пример 4.8. Вычислить предел .

.

Пример 4.9. Вычислить предел . .

3. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз, если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы должны оставаться справедливыми.

Пример 4.10. Вычислить .

Решение.Значение предела

позволяет сравнить бесконечно большие при функции: показательная функция – бесконечно большая функция большего порядка по сравнению со степенной функцией – бесконечно большой при .

4.Правило Лопиталя не является универсальным, оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .

Пример 4.11. Значение предела получить по правилу Лопиталя нельзя, поскольку – не существует ( не существует, см. решение примера 3.6). Однако исходный предел существует, его легко можно вычислить другим способом, например, так: , применяя теорему о пределе произведения бесконечно малой функции на ограниченную, в нашем случае, при , имеет место неравенство .

Формула Тейлора для многочленов

В 1715 году Брук Тейлор[9] опубликовал формулу для разложения функции в степенной ряд, которая явилась мощным инструментом для исследования функций и приближенных вычислений.

Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть функция имеет в окрестности точки производные до - го порядка включительно. Требуется найти многочлен

степени не выше такой, что для всех выполняются равенства

. (4.15)

Будем искать в виде многочлена по степеням разности :

, (4.16)

где коэффициенты нужно определить.

Найдем производные многочлена порядка :

, (4.17)

,

и далее,

.

Из (4.16) и (4.17) при получаем

Отсюда

.

Значит, с учетом (4.15), должны выполняться равенства

.

Таким образом, поставленную задачу решает многочлен

. (4.18)

Многочлен , заданный формулой (4.18), называют многочленом Тейлора порядка функции в точке . Он единственен.

4.7. Задача наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано[10]

Покажем, что именно многочлен Тейлора функции задает наилучшее локальное приближение этой функции. Для этого оценим погрешность приближения , т. е. оценим в некоторой окрестности точки функцию . Разность называют остаточным членом формулы Тейлора.

Покажем, что

.

В самом деле, рассмотрим

(применим последовательно раз правило Лопиталя) = а это означает, что ,

т. е.

. (4.19)

Полученная формула носит название формулы Тейлора порядка функции в точке с остаточным членом в форме Пеано. Ее называют асимптотическим разложением - го порядка функции в окрестности точки . Формула (4.19) является качественной характеристикой погрешности.

В курсе математического анализа доказывается, что можно найти и другие погрешности приближения .



©2015- 2017 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.