Сделай Сам Свою Работу на 5

Уравнения с нерастягивающими операторами


4.1. Нерастягивающие операторы.

Говорят, что оператор A нерастягивающий на множестве M, если

jjAx Ayjj · jjx Ў yjj (x; y 2 M): (4:1)

Уравнение

x = Ax (4:2)

с нерастягивающим оператором A может не иметь решений, может иметь несколько или бесконечное число решений. Если уравнение (4.2) имеет решение, то возникает вопрос о приближенном построении этого решения. Ниже будет показано, что во многих случаях решение уравнения (4.2) может быть получено как предел последовательных приближений

xn+1 = 1 2 (Axn + xn) (n = 0; 1; 2; : : :): (4:3)

При этом последовательные приближения могут сходиться к разным решениям уравнения (4.2) в зависимости от выбора начального приближения.

Приближения (4.3) это обычные последовательные приближения

xn+1 = Fxn (n = 0; 1; 2; : : :); (4:4)

где Fx=1/2(Ax + x): (4:5)

Очевидно, F также нерастягивающий оператор.

Банахово пространство E называется строго выпуклым, если

jjx + yjj < jjxjj + jjyjj

при x 6= ®y, ® > 0. Легко проверить, что гильбертово пространство строго выпукло: действительно, если x 6= ®y, то

jjx + yjj2 = jjxjj2 + 2(x; y) + jjyjj2 < (jjxjj + jjyjj)2:

Строго выпуклы пространства Lp (1 < p < 1) (это вытекает из так называемых неравенств Кларксона; см., например, С.Л. Соболев [1]).

Теорема 4.1. Пусть нерастягивающий оператор A преобразует замкнутое выпуклое множество T строго выпуклого банахова пространства E в свою компактную часть.

Тогда при любом x0 2 T последовательные приближения (4.3) сходятся к некоторому решению уравнения (4.2).

Доказательство. Существование решений уравнения (4.2) вытекает из принципа Шаудера.

Обозначим через T0 замыкание выпуклой оболочки множества, полученного присоединением к AT точки x0. Из известной леммы Мазура (см., например, Н. Данфорд и Дж.Т. Шварц [1], стр. 451) вытекает, что T0 компактно. Очевидно, приближения (4.3) принадлежат T0.

Обозначим через xnk подпоследовательность последовательности (4.3), сходящуюся к некоторой точке z. Допустим, что z не является решением уравнения (4.2). Пусть x? некоторое решение этого уравнения. Из строгой выпуклости пространства E и из (4.1) вытекает тогда, что



jjx? Ў Fzjj =1 2 jj(x? Ў z) + (Ax? Ў Az)jj < jjx? Ў zjj:


Пусть jjx? Ў zjj Ў jjx? Ў Fzjj = 2± > 0. Пусть jjz Ў xnk0 jj < ±. Тогда при всех m > 0 jjx? Ў xnk0+mjj · jjx? Ў xnk0+1jj · jjx? Ў Fzjj + jjFz Ў Fxnk0
jj · jjx? Ў Fzjj + jjz Ў xnk) jj · jjz? Ў zjj Ў ±:

Из этих неравенств вытекает, что подпоследовательность xnk не может сходиться к z. Полученное противоречие доказывает, что z является решением уравнения (4.2). Из (4.1) вытекает, что и вся последовательность xn сходится к этому решению.

Теорема доказана.

Теорема 4.1 для случая равномерно выпуклых пространств доказана М.А. Красносельским [5], для строго выпуклых пространств М. Эдельштейном [1]. Теории нерастягивающих операторов посвящена многочисленная литература (см., например, Ф. Браудер [1], Ф. Браудер и В. Петришин [1,2], В Кирк [1]; особо отметим интересный обзор 3. Опяла [2]).

4.2. Пример. Рассмотрим уравнение

x(t) = Z R(t; s; x(s)) ds: (4:7)

Будем считать, что R(t; s; x) непрерывна по x и
jR(t; s; x)j · K(t; s)(a + bjxj) (t; s 2 ­; Ў1 < x < 1); (4:8)

где ядро K(t; s) определяет вполне непрерывный линейный оператор K, действующий в пространстве L2. Тогда (см., например, М.А. .Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник и П.Е. Соболевский [1]) оператор A, определенный правой частью уравнения (4.7), действует в L2 и вполне непрерывен. Предположим, что

b 1/2 (K) < 1; (4:9)

где 1/2 (K) спектральный радиус линейного оператора K. По каждому " > 0
пространстве L2 можно (см. п. 1.4) ввести такую эквивалентную норму jjxjj", что

jjKxjj" · ( 1/2 (K) + ") jjxjj" (x 2 L2):

Положим

" = 1 Ў b 1/2 (K) 2b :

Тогда из (4.8) вытекает неравенство

jjAxjj" · a1 + 1 2 (1 + b 1/2 (K)) jjxjj" (x 2 L2); (4:10)
где

Пусть TR шар jjxjj" · R радиуса

R = 2a1 1 Ў b 1/2 (K) :

В силу (4.10) оператор A преобразует шар TR в себя.

Предположим теперь, что функция R(t; s; x) удовлетворяет условию Липшица

jR(t; s; u) Ў R(t; s; v)j · K1(t; s) ju Ў vj (t; s 2 ­; Ў1 < u; v < 1)

где K1(t; s) определяет линейный интегральный оператор K1, непрерывный в L2. Если Ѕ(K1) < 1, то в некоторой эквивалентной норме оператор A является сжимающим оператором; в этом случае уравнение (4.7) имеет в L2 единственное решение, к которому сходятся (по метрике L2) последовательные приближения

xn+1(t) = Z R(t; s; xn(s)) ds:

Если же Ѕ(K1) = 1, то можно пытаться строить эквивалентные нормы, в
которых оператор A нерастягивающий (см. упражнение 1.8). Ограничимся случаем, когда jjK1jj = 1 (например, когда ядро K1(t; s) симметрично и Ѕ(K1) 1). В этом случае решение уравнения (4.7) может быть не единственным. Из теоремы 4.1 вытекает, что при любом начальном приближении x0 2 TR последовательные приближения

 

xn+1(t) = 1 2 µ xn(t) + Z R(t; s; xn(s)) ds

сходятся к одному из решений уравнения (4.7).

4.3. Самосопряженные нерастягивающие операторы.

В этом пункте рассматривается уравнение x = Ax + f (4:11) с линейным самосопряженным оператором A, действующим в гильбертовом пространстве H. Будем предполагать, что jjAjj = 1. Тогда уравнение (4.11) не при всех f 2 H имеет решение.

Теорема 4.2. Пусть Ў1 не является собственным значением оператора
A. Пусть уравнение (4.11) при данном f имеет решение (возможно, не единственное).

Тогда при любом x0 2 H последовательные приближения

xn+1 = Axn + f (n = 0; 1; 2; : : :) (4:12)

сходятся к одному из решений уравнения (4.11).

Доказательство. Обозначим через H1 подпространство собственных векторов оператора A, отвечающих собственному значению 1, а через P1 оператор ортогонального проектирования на H1. Если уравнение (4.11) разрешимо, то существует решение x?, ортогональное H1 (если ex какое-нибудь решение этого уравнения, то x? = ex Ў P1ex решение, ортогональное H1).

Пусть x0 произвольное начальное приближение. Покажем, что последовательные приближения (4.12) сходятся к решению x? + P1x0 уравнения (4.11). Для этого достаточно доказать, что при заданном " > 0 можно указать такое N = N("), что

jjxn Ў (x? + P1x0)jj < "

при n > N(").

Пусть E, разложение единицы, соответствующее самосопряженному оператору A:

A = Z1 Ў1, dE,:

Пусть ? произвольное положительное число. Тогда пространство H можно разложить в ортогональную сумму трех подпространств H1, H2 и H3, где H2 и H3 множества значений операторов проектирования

P2x = Z1Ў? Ў1+? dE, (4:13)

и

P3x = Z1+? Ў1 dE, + Z1Ў0 1Ў? dE,:

Так как jjP3xjj2 = ЎZ1+? Ў1 d(E,x; x) + Z1Ў0 1Ў? d(E,x; x)

и -1 не является точкой разрыва функции (E,x; x), то при каждом фиксированном x 2 H

lim ?!0 jjP3xjj = 0:

Выберем ? > 0 так, чтобы выполнялось неравенство

jjP3(x0 Ў x?)jj < " 2 : (4:14)

Проекторы P1, P2 и P3 коммутируют с A. Поэтому равенства (4.12) можно записать в виде трех равенств:

P1xn = AP1xn + P1f (n = 1; 2; : : :); (4:15)

P2xn = AP2xn + P2f (n = 1; 2; : : :); (4:16)

P3xn = AP3xn + P3f (n = 1; 2; : : :): (4:17)

Из разрешимости уравнения (4.11) вытекает, что f ортогонален H1. Поэтому равенства (4.15) имеют вид

P1xn = AP1xn (n = 1; 2; : : :): (4:18)

Из (4.13) вытекает, что в подпространстве H2 норма оператора A не превышает 1 Ў ?. Поэтому последовательные приближения (4.16) сходятся к решению P2x? уравнения y = Ay + P2f. Следовательно, можно указать такое N, что

jjP2xn Ў P2x?jj < " 2 (4:19)

при n > N.

Наконец, в силу (4.17) и (4.14) при всех n

jjP3(xn Ў x?)jj = jjA(P3(xn Ў x?)jj · jjP3(xnЎ1 Ў x?)jj · : : : · jjP3(x0 Ў ?)jj: (4:20)

В силу (4.18), (4.20) и (4.19)

jjxn Ў (x? + P1x0)jj ·

jjP1(xn Ў x? Ў x0)jj + jjP2(xn Ў x?)jj + jjP3(xn Ў x?)jj < "

при n > N.

Теорема доказана.

К уравнению вида (4.11) с оператором A, удовлетворяющим условиям теоремы 4.2, можно привести любое имеющее решение уравнение с линейным ограниченным оператором в гильбертовом пространстве. Действительно, рассмотрим уравнение

Bx = f (4:21)

с ограниченным оператором B. Оно эквивалентно уравнению

B1x = f1; (4:22)

где B1 = B?B, f1 = B?f, B? оператор, сопряженный B. В проверке нуждается лишь тот факт, что каждое решение уравнения (4.22) является одновременно решением уравнения (4.21); но это очевидно, так как, с одной стороны, равенство B1x? = f1 означает, что элемент Bx?Ўf принадлежит множеству нулей оператора B?, которое ортогонально множеству значений оператора B, а с другой стороны, Bx? Ў f принадлежит множеству значений оператора B, так как по предположению уравнение (4.21) разрешимо.

Уравнение (4.22) эквивалентно уравнению

x = (I Ў kB1)x + kf1 (4:23)

при любом ненулевом k. При

0 < k <2 jjB1jj (4:24)

уравнение (4.23) является уравнением вида (4.11) с оператором

A = I Ў kB1; (4:25)

удовлетворяющим условиям теоремы 4.2, так как оператор B1, самосопряжен и неотрицателен.

Если в уравнении (4.21) оператор B самосопряжен и неотрицателен, то промежуточный переход к уравнению (4.22), конечно, не нужен.

Из приведенных рассуждений и теоремы 4.2 вытекает

Теорема 4.3. Для любого имеющего решение уравнения (4.21) с линейным ограниченным оператором B в гильбертовом пространстве можно построить последовательные приближения вида (4.12), сходящиеся к решению.

Если оператор B1 в уравнении (4.22) положительно определен, а m и M границы его спектра, то уравнение (4.23) будет уравнением с оператором, норма которого меньше 1 (эта норма равна max fj1 Ў kmj; j1 Ў kMjg. Для доказательства сходимости последовательных приближений теорема 4.2 тогда не нужна достаточно сослаться на принцип сжатых отображений.
Переход к уравнению (4.23) указывался для некоторых случаев И.П. Натансоном [1]. Для интегральных уравнений Фредгольма второго рода он применялся еще Г. Виарда [1]. Для интегральных уравнений Фредгольма первого рода он использован по существу в работе В.М. Фридмана [1].



©2015- 2017 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.