Тема 4. Граничные задачи, уравнения и методы
К классификации электромагнитных явлений
Уравнения (2.1), (2.2) в Теме 2 позволяют классифицировать электромагнитные процессы и получить ряд соотношений, используемых в следующих главах для иллюстрации и тестирования численных методов на простейших примерах.
4.1.1. Уравнения электростатики.Самыми простыми являются неизменные во времени поля при отсутствии токов, т.е. , а уравнения, для электрического поля, называемого электростатическим, принимают вид
. (4.1)
Используя тождество , вводят понятие скалярного потенциала электростатического поля
, (4.2)
и, подставив во второе уравнение (4.1), получаем в случае однородной среды для скалярного потенциала уравнение Пуассона
. (4.3)
Общий вид решения этого уравнения Пуассона для неограниченной области имеет вид
, (4.4)
где – радиус-вектор точек наблюдения и интегрирования соответственно. Для тех областей, где заряд отсутствует ( ) (4.3) переходит в уравнение Лапласа
. (4.5)
При наличииграниц раздела сред (рис.4.1) выполняются следующие граничные условия:
(4.6)
где индексами 1 и 2 отмечены значения векторов поля в первой и второй средах соответственно; – единичный вектор нормали к поверхности, направленный в первую среду; – поверхностная плотность электрических зарядов.
Рис. 4.1. Граничные условия.
Граничные условия (4.6) с учётом (1.26) для потенциалов в первой второй сред принимают вид
. (4.7)
Если вторая среда является идеальным проводником, то вектора поля во второй среде равны нулю. Граничные условия для электростатического потенциала на поверхности S проводника имеют вид
, (4.8)
где нормаль внешняя по отношению к проводящей среде. При наличии совокупности проводящих тел распределение на каждом из них неизвестно и краевые задачи формулируются как задача Дирихле
(4.9)
или как задача Неймана, в которой вместо граничных условий для потенциалов задаются граничные условия типа (4.8).
Для линейных сред в силу линейности уравнений электростатики вводится понятие ёмкости C [Фарада] системы проводников. В частном случае двух проводников с зарядом q и потенциалами и
. (4.10)
Энергия электростатического поля определяется общим соотношением [12]
, (4.11)
или в более удобной форме для локального распределения зарядов
. (4.12)
Задания
Задание 4.1
Найти и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля между двумя концентрическими цилиндрами (в предположении бесконечно протяженной структуры). Граничные условия: .
а. a = 0.01 м, b = 0.04 м, V0 = 6 В.
б. a = 0.02 м, b = 0.04 м, V0 = 6 В.
в. a = 0.02 м, b = 0.08 м, V0 = 6 В.
г. a = 0.01 м, b = 0.04 м, V0 = 9 В.
д. a = 0.02 м, b = 0.04 м, V0 = 9 В.
е. a = 0.02 м, b = 0.08 м, V0 = 9 В.
ж. a = 0.01 м, b = 0.04 м, V0 = 12 В.
з. a = 0.02 м, b = 0.04 м, V0 = 12 В.
и. a = 0.02 м, b = 0.08 м, V0 = 12 В.
Решение (стр.197, пример 4.7)
Краевая задача формулируется как задача Дирихле (4.9). В силу симметрии решаем уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат
. (1)
Показать, что , где .
В силу симметрии и . В результате (1) принимает вид:
. (2)
Решая последовательно это уравнение имеем:
, (3)
где константы определяются из граничных условий
(4)
Откуда . Соответственно из (3) потенциал электростатического поля между двумя концентрическими цилиндрами равен
, где . (5)
Используя MATLAB строим распределение скалярного потенциала электростатического поля между двумя концентрическими цилиндрами, полагая, что .
clear;
clf
a = 0.01;
b = 0.04;
V0 = 6;
radius = a: 0.001: b;
voltage = V0 * log(radius / b) ./ log(a / b);
plot (radius, voltage)
xlabel ('\rho')
ylabel ('V')
grid on
Задание 4.2
Двухмерное распределение потенциала аппроксимируется выражением . Показать, что эта функция удовлетворяет уравнению Пуассона и построить поверхности распределения потенциала и электрического заряда , Кл/м3. Поверхности строятся в интералах , с шагом 0.2 м.
а.
б.
в.
г.
д.
е.
ж.
Решение (стр.190, пример 4.4)
Так как , то заданное распределение потенциала удовлетворяет двухмерному уравнению Пуассона .
Используя MATLAB строим распределение скалярного потенциала электростатического поля u и электрического заряда .
clear;
clf
xmin = -5;
xmax = 5;
ymin = -5;
ymax = 5;
step = 0.2;
[x, y] = meshgrid(xmin: step: xmax, xmin: step: xmax);
voltage = (x .^ 2 + y .^ 2) / 4;
surf(x, y, voltage)
hold on
charge = del2(voltage);
mesh (x, y, charge)
view(-37.5, 20)
xlabel ('x', 'fontsize', 12)
ylabel ('y', 'fontsize', 12)
zlabel ('\rho_v, V(x, y)', 'fontsize', 12)
Задание 4.3
Двухмерное распределение потенциала в районе и описывается выражением . Продифференцировать аналитически, а также, используя MATLAB, реализовать численное дифференцирование уравнения Пуассона при , и построить графики плотности электрических зарядов , Кл/м2 , а также распределение потенциала. Графики строятся с шагом 0.1 по осям.
а. =1, V0 = 1 В.
б. =2, V0 = 1 В.
в. =3, V0 = 1 В.
г. =4, V0 = 1 В.
д. =4, V0 = 0.1 В.
е. =4, V0 = 0.5 В.
ж. =4, V0 = 0.2 В.
з =4, V0 = 0.3 В.
Решение (стр.224, пример 4.16)
Уравнение Пуассона имеет вид . Использовать в MATLAB функцию del2.
clear;
clf;
V0 = 1;
eps = 1;
xmin = -2;
xmax = 2;
ymin = -2;
ymax = 2;
step = 0.1;
eps_0 = 8.854187817e-12;
eps_a = eps * eps_0;
[x, y] = meshgrid (xmin: step : xmax, ymin: step: ymax);
z = V0 * exp(-x .^ 2 - y .^ 2);
% Умножаем на 4, т.к. del2 делит оператор Лапласа на 2 * N, где N -
% размерность матрицы
ro = -del2(z, step) * 4 * eps_a;
subplot (2, 1, 1)
surf(x, y, z)
view(-45, 10)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('u')
subplot (2, 1, 2)
mesh(x, y, ro)
view(-45, 10)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('\rho_s')
% Аналитическая проверка
ro_anal = 4 * V0 * exp (-x .^ 2 - y .^ 2) .* (1 - x .^ 2 - y .^ 2) * eps_a;
% Расчет разности между аналитикой и тем, что рассчитывалось с помощью del2
delta = abs (ro - ro_anal);
delta_max = max (max(delta))
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей (МКР) [5] базируется на решении дифференциальных уравнений в частных производных, представленных в конечно-разностной форме. Метод достаточно универсальный, требует минимальной аналитической подготовки, и легко программируем, однако требует обращения матричных уравнений большого порядка. МКР создаёт промежуточную базу для метода конечных элементов и метода конечных разностей во временной области.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|