Элементы векторного анализа

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая

1.1.1. Операторы векторного анализа.В дальнейшем будем использовать форму записи уравнений электродинамики с использованием так называемого оператора Гамильтона («набла»), который, например, в декартовой системы координат определяется как

, (1.1)

где – единичные векторы декартовой системы координат.

Это символическое обозначение дифференциальной операции, которую можно произвести как над скалярной , так и над векторной функцией. В первом случае имеем

. (1.2)

Во втором, используя формальное правило скалярного произведения

, (1.3)

или векторного произведения в декартовой системе координат

, (1.4 а)

в цилиндрической системе координат

, (1.4 б)

в сферической системе координат

. (1.4 в)

Оператор Гамильтона является, таким образом, удобным средством представления операций векторного анализа, в частности,

. (1.5)

Оператор называется оператором Лапласа. Его очевидным образом можно применять и к векторным функциям.

1.1.2. Векторные тождества. Векторные тождества играют важную роль при выводе различных соотношений, вытекающих из уравнений Максвелла. Следующие четыре тождества векторного анализа, вывод которых достаточно прост, имеют значение правил дифференцирования произведения функций ( - скалярные функции):

, (1.5а)

, (1.5б)

, (1.5в)

. (1.5г)

Следующие тождества будут также использованы далее:

, (1.6a)

. (1.6б)

Задания

Задание 1.1

Задана поверхность:

1.1а.

1.1б. .

1.1в. .

1.1г. .

1.1д. .

1.1е. .

1.1ж. .

Найти аналитически и вычислить его в точке (x=0, y=0). Далее, используя MATLAB, построить профиль этой поверхности, контура равных значений функции z (линии уровня) и начертить поле . Графическое построение проводить в интервалах , с шагом по осям x и y равным 0.2. Графики выводятся в одном окне.

Решение 1.1а (стр.40, пример 1.13)

; в точке (x=0, y=0).

Используем MATLAB. Для создания рисунков используются функции “contour” и “quiver” .

% Очистка памяти от переменных

clear;

% Очистка фигуры

clf;

% Интервал построения поверхности, поля и линий уровня

surf_min = -2;

surf_max = 2;

% Шаг построения поверхности

surf_step = 0.2;

% Шаг построения градиента

gradient_step = 0.2;

% Сетка для построения поверхности

[x, y] = meshgrid(surf_min: surf_step: surf_max, ...

surf_min: surf_step: surf_max);

% Сетка для построения градиента

[xx, yy] = meshgrid(surf_min: gradient_step: surf_max,...

surf_min: gradient_step: surf_max);

z = exp (-x .^ 2 - y .^ 2);

zz = exp (-xx .^ 2 - yy .^ 2);

[u, v] = gradient (zz, gradient_step);

% Оформление графиков

whitebg ('white')

% Вывод поверхности

subplot (2, 1, 1)

surf (x, y, z)

axis equal

axis off

view (-30, 20)

text (-4.5, -2, 3, '(a)', 'fontsize', 18)

% Вывод градиента

subplot (2, 1, 2)

contour (x, y, z, 5)

hold on

axis square

quiver (xx , yy, u, v)

axis equal

axis off

hold off

text (-4, 0, '(b)', 'fontsize', 18)

% Тестирование

% Точка, в которой проверяем значение градиента

test_indexes = [7, 8];

test_x = xx(test_indexes(1), test_indexes(2));

test_y = yy(test_indexes(1), test_indexes(2));

% Значение градиента, рассчитанное с помощью функции gradient

gradient_x = u(test_indexes(1), test_indexes(2));

gradient_y = v(test_indexes(1), test_indexes(2));

% Значение градиента, рассчитанное аналитически

analytical_x = -2 * test_x * exp (-(test_x ^ 2 + test_y ^ 2) );

analytical_y = -2 * test_y * exp (-(test_x ^ 2 + test_y ^ 2) );

fprintf ('x = %.10f y = %.10f\n', test_x, test_y );

fprintf ('analytical_x = %.10f analytical_y = %.10f\n', ...

analytical_x, analytical_y );

fprintf ('gradient_x = %.10f gradient_y = %.10f\n', ...

gradient_x, gradient_y );

Длина стрелок и их ориентация соответствуют распределению поля в пространстве.

Задание 1.2

Задано векторное поле в цилиндрической системе координат:

1.2а. , ;

1.2б. , ;

1.2в. , ;

1.2г. , .

1.2д. , ;

1.2е. , ;

1.2ж. , .

Найти аналитически и, используя MATLAB, дивергенцию ; построить векторное поле aи контура равных значений дивергенции . Графическое построение проводить в интервалах , с шагом по осям x и y равным 0.5. Графики выводятся в одном окне.

Решение 1.2а. (стр.44, пример 1.15)

В цилиндрической системе координат: .

Для рис. 1.1 а) - г) имеем

= .

Используем MATLAB. Для вычисления дивергенцию использовать команду “divergence” (при этом необходимо перейти в декартову систему координат, учитывая, что ), а для создания рисунков – команды “quiver” и “contour”.

% Очистка памяти и фигуры

clear;

clf;

% Константа из задания

alpha = 3;

% Интервал построения графиков и шаг

mesh_min = -2;

mesh_max = 2;

mesh_step = 0.2;

% Создать двумерную сетку в заданных интервалах

[x,y] = meshgrid (mesh_min : mesh_step : mesh_max, ...

mesh_min : mesh_step : mesh_max);

% Расчет заданной функции

r2 = x .^ 2 + y .^ 2;

Ax = exp(-r2 ./ alpha .^ 2) .* x;

Ay = exp(-r2 ./ alpha .^ 2) .* y;

% Расчет дивергенции средствами MATLAB

D = divergence(x, y, Ax, Ay);

subplot (2, 1, 1)

quiver(x, y, Ax, Ay)

axis equal

axis off

text(-4, 0, '(a)','fontsize', 18)

subplot (2, 1, 2)

hold on

axis square

contour (x, y, D, 5)

axis equal

hold off

text(-4, 0, '(b)','fontsize', 18)

set(gca,'fontsize', 18)

% Тестирование

% Точка, в которой проверяем значение дивергенции

test_indexes = [7, 8];

test_x = x(test_indexes(1), test_indexes(2));

test_y = y(test_indexes(1), test_indexes(2));

test_r2 = test_x ^ 2 + test_y ^ 2;

% Значение дивергенции, рассчитанное с помощью функции divergence

test_div = D(test_indexes(1), test_indexes(2));

% Значение дивергенции, рассчитанное аналитически

analytical_div = 2 * exp (-test_r2 / (alpha ^ 2)) * ...

(1 - test_r2 / (alpha ^ 2) );

fprintf ('x = %.10f y = %.10f\n', test_x, test_y );

fprintf ('analytical_div = %.10f\n', ...

analytical_div);

fprintf ('test_div = %.10f\n', ...

test_div);

Длина стрелок и их ориентация соответствуют распределению векторного поля a в пространстве.

Задание 1.3

Задано векторное поле в цилиндрической системе координат:

1.3а. , ;

1.3б. , ;

1.3в. , ;

1.3г. , ;

1.3д. , ;

1.3е. , ;

1.3ж. , ;

Найти аналитически и, используя MATLAB (при этом необходимо перейти в декартову систему координат, учитывая, что ) ротор ; построить векторное поле ; и контура равных значений z-компоненты ротора . Графическое построение проводить в интервалах , с шагом по осям x и y равным 0.2. Графики выводятся в одном окне.

Решение 1.3а. (стр.48, пример 1.17)

В цилиндрической системе координат:

Используем MATLAB. Для вычисления ротора использовать команду “curl”, а для

clear;

clf;

alpha = 3;

beta = 1;

mesh_min = -2;

mesh_max = 2;

mesh_step = 0.2;

[x,y] = meshgrid (mesh_min : mesh_step : mesh_max, ...

mesh_min : mesh_step : mesh_max);

r2 = x .^ 2 + y .^ 2;

Ax = -exp(-r2 / alpha .^ 2) .* y * beta;

Ay = exp(-r2 / alpha .^ 2) .* x * beta;

C = curl(x, y, Ax, Ay);

subplot(2, 1, 1)

quiver(x, y, Ax, Ay)

axis equal

axis off

text(-4, 0, '(a)', 'fontsize', 18)

subplot(2, 1, 2)

hold on

axis square

contour(x, y, C, 5)

axis equal

hold off

text(-4, 0, '(b)', 'fontsize', 18)

% Тестирование

% Точка, в которой проверяем значение ротора

test_indexes = [7, 8];

test_x = x(test_indexes(1), test_indexes(2));

test_y = y(test_indexes(1), test_indexes(2));

test_r2 = test_x ^ 2 + test_y ^ 2;

% Значение ротора, рассчитанное с помощью функции curl

test_curl = C(test_indexes(1), test_indexes(2));

% Значение ротора, рассчитанное аналитически

analytical_curl = 2 * beta * exp (-test_r2 / (alpha ^ 2)) * ...

(1 - test_r2 / (alpha ^ 2) );

fprintf ('x = %.10f y = %.10f\n', test_x, test_y );

fprintf ('analytical_curl = %.10f\n', ...

analytical_curl);

fprintf ('test_curl = %.10f\n', ...

test_curl);

Длина стрелок и их ориентация соответствуют распределению векторного поля в пространстве.

Задание 1.4

Даны вектора .

1.4а.

1.4б.

1.4в.

1.4г.

1.5д.

1.5е.

1.5ж.

1.5з.

1.5и.

1.5к.

1.5л.

1.5м.

Используя MATLAB вычислить . Найти модуль и единичный орт . Построить и обозначить на рисунке все вектора.

Решение 1.4а. (стр. 7, пример 1.1)

Сумма ; длина ; .

Используем MATLAB, дополнив обозначением осей и заголовком. Для построения векторов используется функция «arrow3» из файла arrow3.m.

clear;

clf;

zero = [0, 0];

a = [3, 0];

b = [0, 3];

c = a + b;

daspect([1 1 1])

arrow3 (zero, a, 'k2', 0.15);

hold on

arrow3 (zero, b, 'k2', 0.15);

arrow3 (zero, c, 'k2', 0.15);

hold off

grid on

xlim ([-1, 4]);

ylim ([-1, 4]);

text(2.5, -0.2, '$$\vec a$$', 'fontsize', 12, 'Interpreter', 'latex')

text(-0.4, 2.8, '$$\vec b$$', 'fontsize', 12, 'Interpreter', 'latex')

text(2.2, 2.8, '$$\vec c$$', 'fontsize', 12, 'Interpreter', 'latex')

xlabel ('x');

ylabel ('y');

title ('$$\vec c = \vec a + \vec b$$', 'Interpreter', 'latex', 'fontsize', 12)

Задание 1.5.

Даны два вектора в декартовой системе координат.

1.5а.

1.5б.

1.5в.

1.5г.

1.5д.

1.5е.

1.5ж.

1.5з.

1.5и.

1.5к.

1.5л.

1.5м.

Найти аналитически, затем с помощью MATLAB и сравнить результаты:

– скалярное произведение

– угол между двумя векторами

– скалярное произведение

– векторное произведение (построить на графике)

Для построения векторов используется функция «arrow3» из файла arrow3.m.

Решение 1.5а. (стр.21, пример 1.7)

Скалярное произведение . В MATLAB команда « ».

Угол между двумя векторами .

В MATLAB команда « ».

Скалярное произведение . В MATLAB команда « ».

Векторное произведение

. В MATLAB команда « ».

Используем MATLAB

clear;

clf;

A = [3 4 0];

B = [12 5 0];

scalar_product = dot(A,B)

angle = acos(scalar_product / (norm(A) * norm(B))) * 180 / pi

magnitude = dot(A,A)

cross_product = cross(A,B)

daspect([1 1 10])

hold on

arrow3 ([0 0 0], A, 'k2', 2);

arrow3 ([0 0 0], B, 'k2', 2);

arrow3 ([0 0 0], cross_product, 'k2', 2);

hold off

grid on

box on

text (1.5, 3.5, 0.5, '$$\vec a$$', 'fontsize', 22, 'Interpreter', 'latex')

text (11.5, 4, 0.5, '$$\vec b$$', 'fontsize', 22, 'Interpreter', 'latex')

text (0.5, 0, -26, '$$\vec c$$', 'fontsize', 22, 'Interpreter', 'latex')

Задание 1.6.

Записать вектор в цилиндрической системе координат. Используя MATLAB показать на рисунке единичные базисные вектора декартовой и цилиндрической систем.

а.

б.

в.

г.

д.

е.

ж.

Решение 1.6. (стр.24, фигура 1.12)

. Поскольку , то .

Аналогично ,

Используем MATLAB

% Очистка переменных и фигуры

clear;

clf;

% Заданный вектор a

a = [3, 2, 4];

r = (9 + 4) ^ (1/2);

phi = atan (2 / 3);

% Размер шрифта для надписей

fontsize = 14;

hold on

% Рисуем заданный вектор a

arrow3([0 0 0], a, 'k2', 0.2)

text(2, 1, 2, 'a', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем часть отружности (дугу)

iter = 1: 100;

z = zeros (100, 1);

x = r .* cos (((iter - 1) / 100) .* phi);

y = r .* sin (((iter - 1) / 100) .* phi);

plot3 (x, y, z, 'LineWidth', 2)

% Рисуем вектор phi_0 для цилиндрической системы координат

arrow3(a, [3 - cos(phi), 2 + sin(phi), 4], 'k2', 0.2)

text(1.2, 0.5, 2.8, '\phi_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем вектор rho_0 для цилиндрической системы координат

arrow3(a, [3 + cos(phi), 2+sin(phi), 4], 'k2', 0.2)

text(3.0, 0.5, 3.5, '\rho_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем вектор z_0 для цилиндрической системы координат

arrow3(a, [3 2 5], 'k2', 0.2)

text(2.6, 2, 5, 'z_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем вектор x_0 для декартовой системы координат

arrow3([0 0 0], [1 0 0], 'k2', 0.2)

text(1.1, 0.1, 0.7, 'x_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем вектор y_0 для декартовой системы координат

arrow3([0 0 0], [0 1 0], 'k2', 0.2)

text(.1, 1, 0.5, 'y_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем вектор z_0 для декартовой системы координат

arrow3([0 0 0], [0 0 1], 'k2', 0.2)

text(.1, .3, 1,'z_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем проекции вектора a

line ([0 3], [0 2], [4 4], 'LineWidth', 2, 'linestyle', '--')

line ([0 3], [0 2], [0 0], 'LineWidth', 2, 'linestyle', '--')

line ([3 3], [2 2], [0 4], 'LineWidth', 2, 'linestyle', '--')

% Рисуем оси в декартовой системе координат

line ([0 5], [0 0], [0 0], 'LineWidth', 2)

line ([0 0], [0 5], [0 0], 'LineWidth', 2)

line ([0 0], [0 0], [0 5], 'LineWidth', 2)

% Обозначаем угол phi

text(1.2, 0.3, 0, '\phi', 'fontsize', fontsize)

% Названия осей

xlabel('x', 'fontsize', fontsize)

ylabel('y', 'fontsize', fontsize)

zlabel('z', 'fontsize', fontsize)

% Настройки внешнего вида графика

axis([0, 5, 0, 5, 0, 5])

grid

axis equal

set (gca,'fontsize', fontsize)

set(gca, 'XTick', 0: 1: 5)

set(gca, 'YTick', 0: 1: 5)

set(gca, 'ZTick', 0: 1: 5)

view(-37.5 - 180, 20)

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: