Динамика электронов в кристаллической решетке

Волновое число k связано с импульсом электрона р равен­ством . Заменив в соотношении неопределенности ~ импульс через волновое число, получим соотношение неопределенности для k и x:

~1. (4.1)

Из этого соотношения следует, что при точно определенном k положение электрона в кристалле будет совершенно неопределенным. Для того чтобы можно было изучать динамику элек­трона в кристалле, необходимо располагать выражениями для его скорости и ускорения. О скорости же можно говорить лишь в том случае, если электрон будет хотя бы приближенно лока­лизован в пространстве.

Положим отличным от нуля. Тогда электрон будет локализован в пределах области ~ . Согласно принципу суперпозиции пси-функция электрона может быть представлена в виде суммы плоских волн вида e^ikr, значения волновых чисел которых заключены в пределах . Если невелико, суперпозиция плоских волн образует волновой пакет. Максимум амплитуды результирующей волны перемещается с групповой скоростью

(4.2)

Наиболее вероятное местона­хождение электрона совпадает с центром группы волн. Следовательно, представляет собой скорость электрона в крис­талле.

Воспользовавшись соотношением , заменим в (4.2) частоту через энергию. В результате получим, что

. (4.3)

Выясним, как будет себя вести электрон под действием на­ложенного на кристалл внешнего электрического поля . В этом случае, кроме сил F_крист, создаваемых полем решетки, на элек­трон будет действовать сила F, модуль которой равен е . За время dt эта сила совершает над электроном работу . Подстановка выражения (4.3) для дает

. (4.4)

Эта работа идет на приращение энергии электрона в кристалле: dA = dE. Заменив в (4.4) dA на dE и приняв во внимание, что dE = (dE/dk) dk, придем к соотношению

Отсюда вытекает, что

(4.5)

Продифференцировав выражение (4.3) по t, найдем ускоре­ние электрона в кристалле:

.

Приняв во внимание (4.5), получим

.

Напишем эту формулу следующим образом:

. (4.6)

Из (4.6) вытекает, что ускорение электрона в кристалле пропорционально внешней силе е . Этот результат является нетривиальным, поскольку ускорение должно быть пропорцио­нальным сумме сил e и F_крист, и только лишь своеобразие силы F_крист приводит к тому, что при пропорциональности ускорения сумме сил е и F_крист имеет место также пропорциональность его слагаемому е .

Сопоставляя (4.6) с уравнением второго закона Ньютона

,

приходим к выводу, что выражение

(4.7)

формально играет по отношению к внешней силе F = e роль массы, в связи с чем величину (4.7) называют эффективной массой электрона в кристалле.

Эффективная масса m* может сильно отличаться от факти­ческой массы электрона m, в частности она может принимать отрицательные значения. Это обусловлено тем обстоятельством, что в действительности уравнение второго закона Ньютона имеет вид

(4.8)

где F_крист — сила, обусловленная действием на электрон поля решетки. Сопоставление (4.8) с уравнением

наглядно показывает, что m* может существенно отличаться от m. Несмотря на это, именно значение m* определяет характер движения электрона в решетке под действием силы е . Введе­ние эффективной массы позволяет, абстрагируясь от взаимодей­ствия электронов с решеткой, определять характер движения электрона под действием внешнего поля. Приписав электрону массу m*, мы можем исследовать поведение электрона под дей­ствием силы е< , считая его свободным. Из сказанного вытекает, что соотношения, полученные в приближении свободных элек­тронов, оказываются справедливыми для электрона, движуще­гося в периодическом поле, если в них заменить истинную массу m эффективной массой m*.

В частности, выражение (1.3) в случае периодического поля имеет вид

. (4.9)

Действительно, двукратное дифференцирование по k дает

,

Что согласуется с определением m* (см. (4.7)).

Итак, воздействие решетки на движение электрона можно учесть, заменив в уравнении движения, включающем только внешнюю силу е< , истинную массу m эффективной массой m*.

Исследуем зависимость эффективной массы m* от «местоположения» электрона внутри разрешенной энергетической зоны. Вблизи дна зоны (см. точки А и А' на рис. 4.1) ход кривой Е(k) мало отличается от хода кривой для свободных электронов (см. рис. 3.3). Соответственно .

В точке перегиба (точка В на рис. 4.1) равно нулю.

Следовательно, m* об­ращается в бесконечность. Это означает, что на движение электрона, находящегося в состоянии с энергией Е_в, внешнее поле не может оказать никакого воздействия.

Вблизи потолка разрешенной зоны (точка С на рис. 4.1) производная (dE/dk с ростом k уменьшается). В соответствии с этим эффективная масса m* электронов, занимающих уровни вблизи потолка зоны, оказывается отрицательной. Фактически это означает, что под совместным действием сил е и F_крист, электрон, находящийся в состоянии с энергией Е_с, получает ускорение, противоположное по направлению внешней силе е .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: