Сделай Сам Свою Работу на 5

Неопределенный и определенный интегралы

Задание 1.

Решение.

Интегрируем исходную функцию:

.

Можно продифференцировать каждую из представленных функций: ; ; ; =f(x) – исходная функция.

 

 

Задание 2.

 

 

Решение.

Интегрируем исходную функцию: .

Или продифференцируем, каждую из представленных первообразных.

В частности: -исходная функция.

Задание 3.

 

Решение.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле: . В данном случае: а=1, b=2, .

.

Задание 4.

Решение.

.

Значит, несобственный интеграл расходится.

 

Задание 5.

Решение.

Площадь фигуры, ограниченной двумя линиями можно найти по формуле:

В данном случае по рисунку видно, что ; ; ; .

.

Задание 6.

 
 


Решение.

Мерами закрытых геометрических множеств являются: длина отрезка, площадь плоской фигуры и объем тела. Понятие меры распространяется и на соответствующие полузакрытые и открытые геометрические множества.

В данном случае плоское множество определяется треугольником. Его мерой является площадь. По рисунку видно, что

Задание 7.

Решение.

Мерой плоского множества является площадь фигуры, определяющей это множество.

В данном случае по рисунку видно, что

 

Дифференциальные уравнения

Задание 1.

Решение.

В данном уравнении переменные уже разделены, можно интегрировать:

; ; .

 

Решение.

, т.к. , то ,

, .

 

Задание 3.

Решение.

; ;

Задание 4.

Решение.

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения имеет вид . В рассматриваемом случае характеристическое уравнение имеет вид .

Задание 5.

Пояснения.

1) Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может быть приведено к виду:

2) Однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть приведено к виду:

3) Дифференциальное уравнение вида называется линейным.

4) Дифференциальное уравнение вида называется уравнением Бернулли .

Задание 6.



Решение.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид: .

Алгебраическое уравнение , составленное по дифференциальному уравнению, называется характеристическим.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения.

Если и различные действительные корни, то .

Если = = , то .

Если - комплексные корни, то .

В данном случае значит = = . Такие корни имеет только уравнение .

Задание 7.

 

Решение.

Неоднородныедифференциальные уравнения второго порядкас постоянными коэффициентами имеют вид: .

Если , то частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде:

при и ;

при или ;

при и ,

где и - корни характеристического уравнения, - многочлен той же степени что и , например, - многочлен нулевой степени, - многочлен первой степени.

В данном случае характеристическое уравнение имеет вид: .

Решим его: =1; .

1. - многочлен 1-й степени, и . .

2. - многочлен нулевой степени, . .

3. - многочлен нулевой степени, , . .

4. - многочлен нулевой степени, , . .

 

Задание 8.

Решение.

Необходимые элементы теории приведены при решении предыдущего задания. В данном случае характеристическое уравнение имеет вид: .

Решим его: ; =0; =2.

1. - многочлен первой степени, , . .

2. - многочлен второй степени, , .

.

3. - многочлен нулевой степени, , и .

4. - многочлен нулевой степени, , и .

.

Числовые, степенные и тригонометрические ряды

Задание 1.

Решение.

Для n = 5. .

 

Задание 2.

 

Пояснение.

Числовой ряд имеет вид , где - числа.

Если все элементы числового ряда ( ) положительны, то ряд называется знакоположительным (ряд 3.).

Если знаки числового ряда чередуются, то ряд называется знакочередующимся (ряд 2.).

Степенной ряд имеет вид: , где х – переменная (ряд 1.).

 

Задание 3.

Решение.

Даны два числовых ряда с положительными членами.

А) .

В) .

Для установления сходимости таких рядов чаще всего пользуются признаком Даламбера и интегральным признаком Коши.

Признак Даламбера.

Пусть существует конечный предел:

, тогда

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то необходимо применить другой признак сходимости.

Интегральный признак Коши.

Пусть , тогда функция определяет числовой ряд: .

1) Если несобственный интеграл сходится, то и числовой ряд сходится.

2) Если приведенный интеграл расходится, то и числовой ряд расходится.

А) Можно показать, что .

Значит, признак Даламбера не позволяет установить сходимость этого ряда. Воспользуемся интегральным признаком Коши.

- функция, определяющая ряд А.

Интеграл сходится значит и ряд А сходится.

В) . ; .

Значит ряд В сходится по признаку Даламбера.

Задание 4.

Решение.

Оба ряда являются знакочередующимися.

А) .

В) .

Для установления сходимости этих рядов воспользуемся признаком Лейбница: если и модули членов ряда убывают, то знакочередующийся ряд сходится.

А) и , т.к. .

Значит ряд А сходится.

В) и .

Значит и ряд В сходится.

Сходящийся знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится он сам и сходится ряд, составленный из модулей его членов.

Рассмотрим соответствующие ряды вида .

; ;

.

Ряд расходится по интегральному признаку Коши (см. задание 3).

Значит ряд А сходится условно.

 

. Сравним этот ряд с рядом . Для ряда :

;

Ряд сходится и все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , значит и ряд сходится по признаку сравнения рядов.

Итак,ряд В сходится абсолютно.

Замечание.

Рассмотрим ряд с положительными членами вида . Если то этот ряд расходится, иначе – сходится (по интегральному признаку Коши). Тогда сходимость ряда можно установить, заменив функцию более простой бесконечно большой функцией того же порядка - .

Например ; и т.д.

Задание 5.

Решение.

Ряд Тейлора для функции имеет вид:

.

В данном случае

Значит

Задание 6.


Решение.

Ряд Тейлора по степеням одночлена имеет вид:

.

В данном случае . Видно, что коэффициент при равен .

;

;

Тогда

 

Задание 7.

Решение.

Разложение функции в степенной ряд Маклорена имеет вид:

,

где - факториал числа n.

Первые три члена этого разложения имеют вид: , т.к. по условию .

Из приведенных вариантов ответа один содержит четыре члена, он отпадает.

Сразу отпадает и вариант, у которого первый член равен -1.

Продифференцируем оставшиеся два варианта решения заданного уравнения.

а) ; ; ; .

Подставим в уравнение (*): . Не подходит.

б) ; ; ; .

Подставим в уравнение (*): . Подходит.

Задание 8.

Решение.

Ряд Фурье для периодической функции с периодом имеет вид:

.

Если функция четная, то все =0, если нечетная, то и все .

В данном случае - четная функция. Значит =0.

Задание 9.

Решение.

Сумма сходящегося ряда Фурье в точках непрерывности равна значениям функции в этих точках . В точках разрыва первого рода сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому значений односторонних пределов функции в этих точках:

.

В данном случае ; ;

Необходимо ввести число 2.

 

 

4. Тестовые задания для самостоятельного решения

Тест №1

Задание 1.

 

Задание 2.

 

Задание 3.

 

Задание 4.

 

Задание 5.

 

 

Задание 6.

 

 

Задание 7.

 

 

Задание 8.

 

Задание 9.

 

 

Задание 10.

Задание 11.

Задание 12.

Задание 13.

Задание 14.

Задание 15.

 

Укажите график периодической функции

 
 


 

 

Задание 16.

 

 

 

Задание 17.

 

Задание 18.

 

 

Задание 19.

 

 

Задание 20.

 

 

Задание 21.

 

 

 

Задание 22.

 

Задание 23.

 

Задание 24.

 

Задание 25.

 

Задание 26.

Тест №2

Задание 1.

 

 

Задание 2.

 

 

Задание 3.

 

 

Задание 4.

 

Задание 5.

 

 

Задание 6.

 

Задание 7.

 

 

Задание 8.

 

 

 

Задание 9.

 

 

Задание 10.

 

Задание 11.

 

 

Задание 12.

 

Задание 13.

 

 

Задание 14.

 

Задание 15.

 

 

Задание 16.

 

 

Задание 17.

 

 

 

Задание 18.

 

Задание 19.

 

 

 

Задание 20.

 

 

Задание 21.

 

Задание 22.

 

 

Задание 23.

 

 

Задание 24.

 

 

Задание 25.

 

 

Задание 26.

 

 

Справочные материалы.



©2015- 2018 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.