Сделай Сам Свою Работу на 5

СУБЪЕКТИВНЫЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ СТОХАСТИЧЕСКОГО РИСКА

Но что, если и это не помогло нашему предпринимателю оп­ределиться в выборе? Исследования, например, показывают, что для каждой величины дисперсии результатов существует вполне определенная компенсирующая величина среднего результата, делающая вариант решения для предпринимателя вполне при­влекательным. Другими словами, как мы уже отмечали, пред­приниматель может пойти на риск не оттого, что риск для него «привлекателен» (имеет положительную ценность), а потому,


Риск-менеджмент

что он рассчитывает на получение более высокого положитель­ного эффекта. Так вот, в подобных ситуациях ему уже просто не­обходимо учесть индивидуальные особенности оценки полезно­сти значений результатов и субъективного восприятия риска.

Приходится не ограничиваться использованием только объ­ективных характеристик распределения результата. Использова­ние объективный показатель для учета риска имеет очень суще­ственный недостаток — не существует нормативной теории, ко­торая позволяла бы четко указать, когда и какой (какие) объективный показатель адекватно отражает предпочтения ЛПР в ситуации выбора в условиях стохастической неопределенно­сти. Этого недостатка лишены аксиоматические методы по­строения функции выбора наилучшей альтернативы, которые не только дают теоретическую основу для качественного учета осо­бенностей отношения ЛПР к вероятностным распределениям на множестве результатов, но и позволяют дать им обоснованную количественную оценку в виде функции полезности.

В теории ожидаемой полезности определяют функцию по­лезности и(у) случайных результатов у, математическое ожида­ние которой полностью определяет предпочтения ЛПР на лоте­реях с учетом индивидуального отношения к риску.

Модель ожидаемой полезности (МОП) - наиболее старый вариант нормативного подхода к принятию решений. Считают, что истоки модельных построений принятия решений восходят к Блезу Паскалю, который предложил тактику выбора в азарт­ных играх: выбирай ту альтернативу, при которой будет макси­мальным произведение возможного выигрыша на его вероят­ность. Затем эту идею подхватили и начали активно разрабаты­вать Д. Бернулли, а затем и П. Лаплас. Однако совершенную форму, пригодную для практического использования ему прида­ли Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн (1947 г.) и А. Эдварде (1954 г.). Термин «полезность» был обоснован Д. Бернулли в 1738 г., когда он дал схему соотношения богатства и полезности выигрываемых денег. Л. Сэвидж в 1954 г. создал теорию, в кото­рой допускались неожиданные субъективные альтернативы. Ро­дилось понятие субъективной вероятности. Было введено поня­тие субъективной ожидаемой ценности. С тех пор это понятие стало использоваться наравне с понятием объективной величи­ны исхода.


Глава 3. Управление стохастическими рисками

Обозначим функцию полезности через и(у). Согласно аксио­матической теории полезности отношение предпочтения на множестве альтернатив а моделируется с использованием мате­матического ожидания М[и(у(а))] функции полезности для этих альтернатив:

а, \~ а2^М[и(у(а,))] > М[и(у(а2))] .

Другими словами, если функция полезности задана, то по­лезность произвольной лотереи на результатах у лотереи опреде­ляется ожидаемой полезностью результатов этой лотереи. В ча­стности, одна из наиболее известных функций полезности — функция Бернулли, задающая полезность определенных коли­честв денег, получаемых в ходе случайной реализации исходов.

Теперь о практических приложениях функции полезности для предпринимательства. Так, наиболее известны две функции полезности денег. Одна из них — квадратичная функция полез­ности с положительными параметрами (функция полезности фон Неймана и О. Моргенштерна), задаваемая выражением и(у) = ау -р^2.Разумеется, рассматривается только восходящая ветвь на неотрицательных значениях результата у. Отмечается, что широкое ее использование объясняется теоремой Нейма­на—Моргенштерна о том, что при определенных естественных допущениях экономическое поведение направлено на максими­зацию ожидаемого значения функции полезности. Другая, не менее распространенная - это логарифмическая функция по­лезности: и(у) = loga у, для а > 0.

Несколько иной подход к учету субъективной стороны выбо­ра предлагают приверженцы теории проспектов — это предста­вители когнитивной психологии, которая более всего использует постулаты и представления экономики и математики, — реко­мендуют наилучший исход выбирать на основе полезности ре­зультата для этого исхода, умноженной на вес результата, а не на вероятность.

К такому выводу авторы теории проспектов пришли, анали­зируя субъективное восприятие величин вероятностей. Проил­люстрируем проявления искажений в восприятиях вероятностей на следующих известных примерах. Так, например, если обыч­ному человеку предъявить два упорядоченных набора из пяти чисел: (1, 2, 3, 4, 5) и (5, 1, 3, 5, 1), то он вряд ли сочтет равнове-


Риск-менеджмент

роятными эти последовательности, даже если они формируются путем равновероятного независимого выбора каждой очередной цифры из множеств {1, 2, 3, 4, 5}. Более того, около 70% испы­туемых обычно считают первую последовательность весьма ма­ловероятной в силу ее регулярности; то есть «степень сходства» регулярной последовательности с нерегулярной оценивается как весьма малая для случайностей.

По этой же причине при оценке вероятностей человек может игнорировать объемы выборок. Например, если вероятность не­кого элементарного события равна 0,5; то вероятности сложных событий типа «элементарное событие наступило 8 раз из 10» и «элементарное событие наступило 800 раз из 1000» часто вос­принимаются субъектом как одинаковые, хотя второе событие объективно менее вероятно. Далее. Оказывается, что если обыч­ного человека попросят оценить, например, техническую надеж­ность определенной марки легкового автомобиля, то, прежде чем вынести суждение, он припомнит поломки, возникавшие у подобных автомобилей у него самого, его друзей и знакомых. И если число поломок в известных ему случаях было значитель­ным, он вынесет суждение о весьма низкой вероятности безот­казной работы автомобиля данной марки.

Установлено также, что, стремясь к выравниванию вероят­ностей различных по правдоподобности событий, человек пере­оценивает объективную вероятность малоправдоподобных со­бытий и одновременно недооценивает вероятность очень прав­доподобных. Кроме того, выяснено, что человек гораздо выше оценивает вероятность выигрыша, чем вероятность проигрыша. Тверски и Канеман выделили несколько эффектов, проявляю­щихся при принятии решений [55]:

>-«эффект определенности» — люди переоценивают однознач­ные исходы по сравнению с высоко вероятными, они ста­бильно предпочитают $3000 наверняка лотерее ($4000; 0,8) или же лотерею ($3000; 0,9) лотерее ($6000; 0,45), а также лотерею ($6000; Ю-3) лотерее ($3000; 2 х 10"3),причем за­пись типа ($у; р) обозначает розыгрыш лотереи с исхода­ми и $0 (ноль долларов) с вероятностями р и 1 — р соот­ветственно; >-«эффект изоляции» — если выигрыш в лотерее — это уча­стие в другой лотерее, то вероятности первой и второй ло­терей человек не перемножает, он рассматривает лотереи


Глава 3. Управление стохастическими рисками

изолированно друг от друга, и в результате не работает ак­сиома свертывания;

>- при выборе люди учитывают не итоги выбора, а различие в состоянии до и после выбора;

>- имеет место качественный сдвиг при изменении вероят­ностей от 0,9 до 1,0 или от 0,0 до 0,1 по сравнению, напри­мер, с изменением с 0,5 до 0,6; другими словами, перехо­ды от невозможного к маловероятному или от высокой вероятности к абсолютной уверенности отличаются от любых других трансформаций в центре вероятностной шкалы;

>- наблюдается существенная асимметрия ^-образной функ­ции полезности для выигрышей и потерь. Отсюда: в ходе коммерческих и политических переговоров каждая из сто­рон более чувствительна к потерям, в результате чего ком­промиссные решения обеими сторонами воспринимают­ся как более проигрышные;

> • «эффект рамки», или влияние контекста на восприятие

альтернатив: если альтернативы сформулированы в тер­минах приобретений, то выбирают то, что безопаснее, на­дежнее и т.п., а если они сформулированы в терминах по­терь, то люди выбирают более рискованные решения (од­нако не все исследователи с этим согласны).

В итоге оказывается, что:

>- человек переоценивает объективную вероятность мало­правдоподобных событий и, одновременно, - недооце­нивает вероятность очень правдоподобных;

>• человек считает событие тем более вероятным, чем легче и быстрее можно запечатлеть в памяти примеры событий этого типа;

>• человек гораздо выше оценивает вероятность выигрыша, чем вероятность проигрыша;

> • при оценке вероятностей событий люди не принимают во

внимание объем выборки; >• независимые события человек часто рассматривает как за­висимые и др. Предложенная в теории проспектов функция весов пред­ставляет собой монотонную функцию от вероятностей, имею­щую указанные особенности. В том числе, низкие вероятности недооцениваются, средние и высокие переоцениваются, причем


Риск-менеджмент

последний эффект выражен сильнее, чем начальный. В области малых вероятностей веса по величине меньше, чем соответст­вующие им вероятности.

Один из авторов теории, А. Тверски, в соавторстве с Фоксом в 1995 г. показал, что в крайних областях вероятностей исходов (от 0,0 до 0,1 и от 0,9 до 1,0) вступают в действие два психологи­ческих эффекта. Один — оценка переходов от «невозможного в возможное», другой — из «возможного в наступающее наверня­ка». Они задействуют сдвиг по шкале «уверенность-неуверен­ность» в возможности исходов, а не по вероятностной шкале.

В работе других авторов (Миллер и Фогли, 1991) рассмотре-

1 2

ны иные диапазоны переходов: от - к , причем в последнем слу­чае событие переходит в категорию «субъективно возможного», а не только «неопределенного». В итоге вместо ожидаемой вели­чины выигрыша вводится представление о «мере полезности». В теории проспектов используется представление «весов реше­ний», которые не подчиняются аксиомам вероятностей и не должны интерпретироваться как «меры убежденности» (Шумей-кер, 1994 г.). «Веса решений» лишь монотонны по вероятностям и отражают общую привлекательность лотерей [55].

Принимая решения, люди демонстрируют искажения веро­ятностных оценок, зависимость выбора от контекста (например, «эффект рамки»), подмену частотного оценивания уверенно­стью и др. Для осуществления выбора между гипотезами или оценки вероятностей гипотез значительную роль играет процесс получения информации. Байесовский подход рассмотрел в сво­ей книге еще Ю. Козелецкий. Экологический (частотный) под­ход развил Гигеренцер (Gigerenzer). Иногда возникают ситуации принятия решений, в которых неопределенность относится к тем факторам, которые лишь предположительно (и в этом смыс­ле — «вероятно») могут повлиять на выбор субъекта. Например, характеристики альтернатив могут сулить большую или мень­шую вероятность тех или иных результатов для них, факторы ус­ловий (внутренних или внешних) влияют на восприятие той или иной информации. Особенно отличают влияние на вероятность вынесения того или иного условия факторов времени и последо­вательности.

Эффекты последовательности, или влияние порядка получения информации впервые были зафиксированы в 1946 г. С. Ашем.


Глава 3. Управление стохастическими рисками

Двум группам испытуемых Аш предъявлял один и тот же список свойств личности (зависть, упрямство, критиканство, импуль­сивность, трудолюбие, ум), но в прямом и обратном порядке. Оказалось, что действует эффект первичности — более сильное влияние на выносимое решение относительно свойств личности индивида производят те элементы, которые занимают первые три места в списке, практически независимо от того, что именно это за элементы. В ситуациях, когда люди знакомятся с противо­положным мнением, эффект первичности проявляется в том, что они остаются более подверженными влиянию первого впе­чатления, то есть первоначально полученных аргументов.

Иногда наоборот — именно последние из полученных сооб­щений оказывают наиболее сильное впечатление. Наблюдается эффект недавности. Особенно это заметно в ходе дебатов, пуб­личных разбирательств и т.п. Вопрос, каким выступать, таким образом, далеко не так прост. Оказывается, все зависит от вре­мени, через которое выносится решение. Если решение выно­сится сразу после окончания дебатов, то наиболее сильно прояв­ляется действие эффекта недавности, а если решение выносится спустя некоторое время после окончания дебатов, — эффект первичности. Об эффектах первичности и недавности необходи­мо постоянно помнить, принимая решения при подготовке и проведении деловых встреч и бесед, о которых мы будем еще го­ворить чуть позже.

Стоит заметить, что существование и характер проявления эффектов первичности и недавности хорошо усвоены адвоката­ми в судебной практике. Так, Н. Миллер и Д. Кэмпбелл прово­дили в середине 90-х годов XX в. деловую игру, в которой инсце­нировался судебный процесс, где истец требовал возмещения ущерба, нанесенного ложным обвинением. Восемь вариантов последовательности событий, которые рассматривались в этой деловой игре, схематично представлены на рис. 3.4 [55].

Испытуемые выносили вердикт, который и был принятием решения по делу. Существенным фактором оказалось время вы­несения этого приговора. Если о решении спрашивали через не­делю после прослушивания выступлений сторон, то проявлялся эффект первичности (3 и 4 варианты последовательности собы­тий). Если эта же неделя разделяла прослушивание информации обеих сторон, а решение выносилось сразу после прослушива­ния текстов последней из сторон, наблюдался эффект недавно-135


Риск -менеджмент


Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8


Рис. 3.4. Варианты последовательности событий, предлагаемые испытуемым в деловой игре

сти (последовательности 5 и 6). Две первые (1 и 2) и последние (7 и 8) схемы не испытывали влияния со стороны эффектов по­следовательности. Кроме того, оказалось, что в вариантах 5 и 6 испытуемые были в разной степени подвержены аргументам истца и ответчика. В частности, в варианте 5 испытуемые боль­ше могли рассказать о фактах, приведенных ответчиком (эффект недавности), а в варианте 6 в выигрыше оказывался истец, и ре­шение принималось в его пользу. Таким образом, если решение принималось сразу после последнего выступления, то преиму-


Глава 3. Управление стохастическими рисками

щества получал последний из выступавших. Сочетание факто­ров последовательности выступлений и времени, через которое следовало вынесение вердикта, может быть использовано не только самими выступающими, но и теми, кто ведет дискуссии или судебные разбирательства. Это «ведущий» имеет очень серь­езные рычаги управления принятием решения, давая выступаю­щим слово в определенном порядке и организуя необходимые последовательности перерывов в слушаниях.

Итак, желание или нежелание рисковать можно при необхо­димости внести в анализ предпочтительности альтернатив. На­пример, это можно сделать с использованием дерева решений. Для этого потребуется только построить функцию полезности для исходов рассматриваемого дерева событий.

Важным обстоятельством, позволяющим существенно облег­чить процедуру построения функции полезности, является то, что она аксиоматически задается с точностью до положительно­го линейного преобразования. Это означает, что если и(у) явля­ется функцией полезности случайного результата у, то все мно­жество {с • и(у) + с, к> 0} положительных линейных преобразо­ваний над значениями этой функции также дают функции полезности для оценки того же самого распределения результата у с той же самой психологической доминантой пользователя. То

есть любая функция из множества {к • и(у) + с, к > 0} упорядочи­вает альтернативы точно так же, как это делает исходная функ­ция полезности и(у). Следовательно, при построении функции полезности можно произвольно выбирать начало отсчета с и единицу измерения к. Поэтому чаще и удобнее выбирают нуле­вое начало отсчета и такую единицу измерения, чтобы функция полезности изменялась в пределах от нуля до единицы.

Заметим, что если предприниматель не склонен к риску, то для него индивидуальная функция полезности случайных значе­ний результата выпукла вверх. Проще всего это показать, ис­пользуя понятие базовой лотереи и достоверного эквивалента. Вообще в математической теории принятия решений лотереей называется пара (У, Р), где Y— {у,, У2,—,уп} — множество возмож­ных значений случайного результата/, Р= (рр2,...,рп) - веро­ятностное распределение на указанных результатах. В общем случае можно рассматривать лотереи с непрерывными значе­ниями результата, а также лотереи с векторными результатами и


Риск -менеджмент

составные лотереи (где результатом одной лотереи является дру­гая лотерея).

Психологические особенности человека таковы, что ему очень трудно сравнивать лотереи с большим числом выигрышей. Человеку гораздо проще иметь дело лишь с двумя исходами — наилучшим у+ и наихудшим у. Обычно человеку также доста­точно просто отвечать на вопросы типа: «За сколько вы соглас­ны отступиться от участия в ... <такой-то> лотерее?» или «Во сколько вы оцениваете ... <такую-то> лотерею, если вам предло­жат ее продать?» Кроме того, обычно предприниматель может достаточно уверенно ответить на вопросы, касающиеся сравне­ния по предпочтительности произвольного неслучайного ре­зультата у, не лучшего, но и не худшего, с так называемой базо­вой лотереей, в которой наилучший результат у+ получается с ве­роятностью р(у), а наихудший уг результат — с вероятностью 1 — р{у). Так вот, для оценки индивидуальной полезности и(у) конкретного неслучайного результата у, находящегося по пред­почтению между худшим у и лучшим у+, предприниматель дол­жен ответить на вопрос: «Какова, по вашему мнению, должна быть вероятность р(у) получения в базовой лотерее лучшего ре­зультата у+, чтобы вам лично было бы все равно — получить ли результат наверняка или участвовать в базовой лотерее с вероят­ностью р(у) для лучшего результата у+».

Предположим, например, что брокер в результате рискован­ной сделки может получить максимальный доход в размере $300 000 или потерять $100 000. Следовательно, для него у+= $300 000 и у- = -$100 000.

Предположим, что некто предлагает этому брокеру наверня­ка, то есть без всякого риска, доход в $100 000 (то есть в наших обозначениях неслучайный результат у= $100 000) или указать такую величину вероятности р(у) получения лучшего результата у+ = $300 000 с риском потерять $100 000, что ему будет все рав­но, получить ли $100 000 наверняка или участвовать в базовой лотерее ($300 000, р(у); -$100 000, 1 - р(у)). Предположим, бро­кер назвал свою оценку: при вероятности примерно 0,5 он не может отдать предпочтение ни получению наверняка $100 000, ни участию в базовой лотерее с исходами у+= $300 000 и у= -$100 000. Следовательно, полезность и($100 000) равна 0,5. На основе введенного нами понятия базовой лотереи можно сделать вывод о начале отсчета и единице измерения для функ-


Глава 3. Управление стохастическими рисками

ции полезности. Так, полезность наихудшего результата, оче­видно, нулевая, поскольку только при нулевой вероятности ЛПР будет все равно получить ли наихудший результат наверняка или участвовать в лотерее. Поэтому и()г) = 0. А вот полезность наи­лучшего результата равна единице, поскольку ЛПР пойдет на участие в лотерее против получения наилучшего результата на­верняка только в случае 100% гарантии успеха операции. Отсюда логически вытекает, что и{у+) = 1.

Однако вопрос о величине полезности можно поставить и по-другому: какой должна быть величина достоверно получае­мого результата yd, чтобы для ЛПР было бы безразлично полу­чить ли результат yd наверняка или участвовать в базовой лотерее с фиксированной вероятностью р(у) получения наилучшего ре­зультата. Предположим, мы выбрали базовую лотерею с характе­ристиками ($300 000; 0,5; -$100 000, 0,5), то есть зафиксировали вероятность р(у) на уровне 0,5. И спросили нашего брокера, на какой достоверно получаемый результат yd он согласился бы, чтобы ему было бы безразлично получить ли его наверняка или участвовать в лотерее с равновероятными исходами и результа­тами $300 000 и -$100 000. Такой результат yd называют досто­верным эквивалентом лотереи. Поскольку, по своей сути, обе формы вопросов эквивалентны, мы вправе ожидать, что брокер даст ответ: yd = $100 000. Однако, как установлено психологами, вопрос о величине достоверного эквивалента базовой лотереи оказывается для большинства предпринимателей более ком­фортным.

Именно по величине детерминированного эквивалента дос­таточно просто судить о типе отношения ЛПР к стохастическому риску. И если оказывается, что детерминированный эквивалент yd лотереи меньше математического ожидания Му результатов лотереи, то ЛПР не склонно к риску, если yd > Мусклонно к риску, а если они равны - ЛПР безразлично к риску. Действи­тельно, так как для ЛПР, не склонного к риску, предпочтитель­нее получение среднего выигрыша наверняка, нежели участие в лотерее со случайными исходами, для него выполняется нера­венство: и(Му) > М[и(у)].

Аналогично можно показать, что функция полезности склонного к риску ЛПР строго выпукла вниз, а для безразлично­го к риску - линейна. На рис. 3.5 приведены функции полез­ности несклонного и склонного к риску ЛПР.


Риск -менеджмент

У У,/ У У* У

а) не склонный к риску б) склонный к риску

Рис. 3.5. Графики функций полезности не склонного и склонного к риску ЛПР

Рассмотрим процедуру построения функции полезности на интервале возможных значений результата коммерческой опера­ции для брокера, решающего вопрос о покупке руды. Ранее на­ми было установлено, что все возможные исходы этой коммер­ческой сделки лежат в диапазоне от - $100 000 до $300 000. Но брокер решил расширить диапазон возможных результатов для построения функции полезности. Он считает, что нужно при­нять во внимание возможные результаты со значениями от у- = -$ 110 000 до у+ = $500 000. Поэтому сразу же положим, что и(-$110 000) = 0 и и($500 000) = 1.

Далее предложим брокеру рассмотреть базовую лотерею с равновероятными исходами из диапазона [-$110 000; $500 000] и назвать ее достоверный эквивалент. Мы только что уже рассмат­ривали подобную задачу, поэтому для брокера она не представи­ла труда. Он назвал достоверный эквивалент в размере -$50 000. Поскольку полученному достоверному эквиваленту соответству­ет математическое ожидание функции полезности, равное 0,5, обозначим его достоверный эквивалент через y0j5. Итак, у нас есть уже три точки, чтобы построить функцию полезности бро­кера, решающего вопрос о покупке руды по достаточно низкой цене в $5 за тонну. Это точки у = -$110 000, y0,s = -$50 000 и у+ = $500 000. Известны также значения величин полезности для них:

и(-$110 000) = 0, и(-$50 000) = 0,5 и и($500 000) = 1.

Величина yo,s= —$50 000 существенно меньше математиче­ского ожидания в лотерее с равновероятными исходами, равно-


Глава 3. Управление стохастическими рисками

му 0,5(-$110 000 + $500 000) = $305 000. Значит, наш брокер со­вершенно не склонен к риску.

Что делать дальше? Да то же, что мы только что делали! Толь­
ко в качестве исходных диапазонов для построения базовой ло­
тереи нужно будет рассмотреть два новых диапазона результатов:
[-$110 000; -$50 000] и [-$50 000; $500 000]. Эти диапазоны об­
разовались из исходного диапазона [—$110 000; $500 000] после
того, как мы разделили его точкой y0j----- $50 000, соответствую­
щей полученному нами достоверному эквиваленту. Итак, спро­
сим теперь у нашего брокера: каков достоверный эквивалент для
лотереи с равновероятными исходами и диапазоном возможных
значений [-$110 000; ув>5= -$50 000].

Напоминаем, что и(у = -$110 000) = 0 и и(у0,5 = -$50 000) = = 0,5. Поэтому полученный достоверный эквивалент будет иметь полезность, равную 0,25. Поэтому обозначим его через Уо,25- Брокер подумал и ответил, что достоверным эквивалентом Уо^25 диапазона [у- = -$110 000; у0,5 = -$50 000] значений резуль­тата является примерно —$80 000. Затем, для второго диапазона он назвал в качестве значения для точки Уо,75 величину, равную примерно $30 000...$35 000. Остановились на цифре $33 000. В системе координат (у; и(у)) через пять полученных точек была проведена плавная кривая, вид которой представлен на рис. 3.6.

-100 О + 100 -300
Последствия, тыс. долл.
брокер, не желающий идти на риск
---------------------- брокер, нейтрально относящийся к риску

Рис. 3.6. Эмпирическая кривая функции полезности (выгодности) для брокера


Риск -менеджмент

Если кривая была точно построена, то значения выгоды можно использовать вместо действительных последствий. Ис­пользование подобной кривой позволяет осуществлять анализ дерева решений в направлении предотвращения риска, причем с большой точностью. И если кривая была точно построена, то значения выгоды можно использовать вместо действительных последствий.

Именно эту эмпирическую кривую и приняли за функцию полезности брокера, отражающую оценку его личной выгодно­сти в задаче о покупке руды. При необходимости можно доста­точно просто аппроксимировать полученную кривую одной из аналитических зависимостей. Наиболее часто для аппрокси­мации эмпирической функции полезности несклонного к рис­ку ЛПР используют экспоненциальную зависимость вида и(у) = а+ fie~Uy+s>, параметры которой достаточно просто опреде­лить либо методом наименьших квадратов, либо — методом вы­равнивания [13].

Оценка возможных результатов является наиболее сложным практическим вопросом в анализе дерева решений. Для практи­ческого использования при принятии коммерческого решения брокер решил отразить координаты основных точек полученной эмпирической кривой выгоды в виде таблицы и затем приме­нить эти данные в дереве решений. Координаты основных точек эмпирической кривой представлены в табл. 3.3.

Т а б л и ц а 3.3 Координаты основных точек эмпирической кривой

 

Значение                
результата, -11О -100 -80 -50
тыс. долл.                
Эмпирические                
значения полезности 0,1 0,25 0,5 0,7 0,75 0,9 1,0
(выгодности)                

Изобразим на дереве решений брокера величины денежных сумм и соответствующие им значения их полезностей (выгодно-стей), взятые из данных табл. 3.3. Соответствующий фрагмент дерева решений брокера представлен на рис. 3.7.


Глава 3. Управление стохастическими рисками



300 000

0,9

0,7 0,7 0,9

0,1

0,7


Рис. 3.7. Дерево решений брокера с величинами денежных сумм и соответствующих им значениям их полезностей (выгодностей)

В кружках на рис. 3.7 проставлены математические ожида­ния полезностей для соответствующих ветвлений дерева. Срав­нение величин, помещенных в кружках, позволяет сделать вы­вод о том, что оптимальный вариант решения (с точки зрения брокера, не желающего идти на риск) диаметрально противопо­ложен варианту, являющемуся оптимальным с точки зрения рискующего брокера. Не имея дополнительной информации, брокер отвергает сделку. С другой стороны, как это следует из рис. 3.7, на котором изображено дерево решений, по максимуму ожидаемой полезности (величина 0,73 в кружке слева вверху вы­игрышным следует считать вариант обращения в правительство. Поэтому брокер, индивидуальная функция полезности которого явно свидетельствует о его не склонности к риску, выбирает ва­риант обращения в правительство за разъяснениями, поскольку ожидаемая полезность альтернативного варианта решения (не обращаться за разъяснениями и действовать наудачу) составляет всего 0,7.


Риск -менеджмент



©2015- 2017 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.