Сделай Сам Свою Работу на 5

Математическая статистика

Практическая работа №7

«Основы математической статистики. Элементы корреляционного анализа»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме

Вопросы теории ( исходный уровень)

1. Основные понятия математической статистики

2. Генеральная совокупность и выборка.

3. Вариационный и интервальный статистические ряды.

4. Полигон частот и гистограмма.

5. Точечная и интервальная оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

6. Порядок статистической обработки экспериментальных данных.

7. Статистическая обработка данных лабораторного эксперимента.

8. Теория погрешностей.

9. Обработка результатов непосредственных и косвенных измерений

10. Правила оформления результатов лабораторных работ.

11. Элементы корреляционного анализа (лекция №2)

Содержание занятия:

1.ответить на вопросы по теме занятия

2.решить примеры

Задачи и примеры

 

Определить соответствие вариационного распределения измеренной величины нормальному закону распределения

  1. Произвести измерения N величин и записать результаты измерений в протокол.
  2. По результатам измерений построить вариационный ряд.

2.1.- в измеренных величинах найти величину ( хmin) с наименьшим значением и величину (хmax) с наибольшим значением.

2.2.-определить размах вариации R , представляющий собой разность между максимальной и минимальной вариантами совокупности ( R = xmax- xmin).

2.3.-по числу элементов совокупности N определим число классов К на которые следует разбить совокупность измеренных величин. При N≤100 К определим по формуле

K= 1+3,32 lg N, при N›100 К определим по формуле K= 5 lg N .

2.4.-определить величину классового интервала λ , как частное от деления размаха вариации R на число классов К , λ =R/К = (xmax- xmin)/ К.

Если окажется , что λ=1, собранный материал распределяется в безынтервальный вариационный ряд; если λ≠1, исходные данные необходимо распределить в интервальный ряд. При этом точность величины классового интервала должна соответствовать точности принятой при измерении величин.



 

2.5.- определить ширину классов входящих в интервальный вариационный ряд в которых расположатся все измеренные величины от xmax до xmin.

Ширина первого класса имеет протяженность от xmin до xmin+λ, т.е.[ xmin ÷ xmin+λ].

Ширина второго класса имеет протяженность от xmin+ λ +10-5λ до xmin+2λ , т.е.

[ xmin+ λ +10-5λ ÷ xmin+2λ] , где 10-5λ незначащее число и применяется для того, чтобы разграничить числа находящиеся на границе классовых интервалов и используется во всех классах для различия начала нового класса от конца предыдущего класса.

Ширина К-того класса имеет протяженность от xmin+(К-1) (λ +10-5λ ) до xmax, т.е.

[xmin+(К-1) (λ +10-5λ ) ÷ xmax], где xmax= xmin +К λ.

2.6.- найти среднее значение каждого класса хm . Среднее значение каждого класса равно полусумме значений начала и конца класса без незначащего числа 10-5λ, т.е.

хm=( xmin+(I-1) λ +xmin+Iλ)/2, где I принимает значения от 1 до К (I =1;2;…К).

2.7.- определить количество элементов n из измеренных N величин входящих в каждый класс, т.е. получить n1, n2,… nК

2.8. – определить относительную частоту рi попадания количества элементов ni из измеренных N величин в каждый класс, т.е. рi= ni/ N. Найти р1, р2,… рК.

 

  1. На основании пункта 2 заполнить таблицу:

 

N=
xmax= xmin= R = xmax- xmin=
K= 1+3,32 lg N=
λ =R/К = (xmax- xmin)/ К=
Классные интервалы К
Границы клас-сных интервалов   [ xmin ÷ xmin+λ] [ xmin+ λ +10-5λ ÷ xmin+2λ]   … [xmin+(К-1) (λ +10-5λ ) ÷ xmax]
Среднее значе-ние классного интервала хm   xmin+λ/2   xmin+3λ/2   …   xmin+(К+1)λ/2
Количество ве-личин входящих в класс ni   n1   n2   …   nК
Частота попа-дания величин в класс рi= ni/ N   р1= n1/ N   р2= n2/ N   …   рК= nК/ N
m)I*pi (xmin+λ/2)р1 (xmin+3λ/2)р2 (xmin+(К+1)λ/2)рК

 

  1. По полученным данным построить графики вариационных рядов.

4.1. - полигон частот; по оси абсцисс откладывают среднее значение классов, по оси ординат частоту попадания величин в класс. Высота перпендикуляров, восставляемых на ось абсцисс, соответствует частоте классов. Соединяя вершины перпендикуляров прямыми линиями, получают геометрическую фигуру в виде многоугольника называемую полигоном распределения частот. Линия соединяющая вершины перпендикуляров, называют вариационной кривой или кривой распределения частот вариационного ряда.

4.2. – гистограмма; по оси абсцисс откладывают границы классовых интервалов , по оси ординат – частоты интервалов. В результате получается совокупность прямоугольников . т.е. гистограмма распределения.

4.3. – кумулята; по оси абсцисс откладывают среднее значение классов, по оси ординат – накопление частоты интервалов ( накопление частот находят последовательным суммированием или кумуляцией частот в направлении от первого класса до конца вариационного ряда , т.е. например в третьем классе накопленная частота будет соответствовать сумме частот трех классов) с последующим соединением точек прямыми линиями, получается график называемый кумулятой. Имеет вид S-образной кривой.

4.4. – огива; по оси абсцисс откладывают частоты , а по оси ординат значение классов с последующим соединением геометрических точек прямыми линиями, полученный график называют огивой.

При построении вариационной кривой масштабы на осях прямоугольных координат следует выбирать с таким расчетом, чтобы основание кривой было в 1,5 –2,0 больше ее высоты.

5. Определить основные характеристики варьирующих величин .

 

5.1. – средняя арифметическая ; найти произведение среднего значения каждого класса (хevi) i на относительную частоту рi попадания количества элементов ni из измеренных N величин в каждый класс, т.е. рi*m)i. Найти р1*m) 1, р2*m)2,... рК*m)К. и по формуле определить среднее арифметическое

 

5.2. – дисперсия sx2 или σ2;

5.2.1. - найти отклонение среднего значение каждого класса хm от среднего арифметического ,т.е. (хm)I- ,

5.2.2. – возвести в квадрат отклонение среднего значение каждого класса хm от среднего арифметического ,т.е.[ (хm)i- ]2,

5.2.3. – умножить квадрат отклонений среднего значение каждого класса хm от среднего арифметического на относительную частоту попадания в класс рi, т.е.

[ (хm)i- ]2i и по формуле определить дисперсию;

 

5.2.4.Установлено, что рассчитываемая по формуле дисперсия оказывается смещенной по отношению к своему генеральному параметру на величину , равную N/(N-1). Эта величина называется поправкой Бесселя. Разность (N-1)=k называют числом степеней свободы под которыми понимают число свободно варьирующих величин в составе численно ограниченной совокупности.

Несмещенная дисперсия и среднеквадратичное отклонение определяются;

5.2.4.1. – умножить квадрат отклонений среднего значение каждого класса хevi от среднего арифметического на количество элементов n из измеренных N величин входящих в каждый класс, т.е. найти [ (хm)i- ]2*ni и по формуле определить несмещенную дисперсию,

 

 

5.2.4.2. – среднее квадратическое отклонение sx есть показатель, представляющий корень квадратный из дисперсии,

 

 

6.На основании пункта 5 заполнить таблицу:

  К
m)I- ,   m)1- , m)2- , m)К- ,
[ (хm)i- ]2,   [ (хm)1- ]2 [ (хm)2- ]2 .[ (хm)К- ]2
умножить ква[ (хm)i- ]2i   [ (хm)1- ]21 [ (хm)2- ]22 [ (хm)К- ]2К
определить дисперсию
[ (хm)i- ]2*ni [ (хm)1- ]2*n1 [ (хm) 2- ]2*n2   [ (хm)К- ]2*nК
определить несмещенную дисперсию,  
Определить среднее квадратическое отклонение sx

 

7. Определить соответствие вариационного распределения нормальному закону;

7.1. – найти нормированное отклонение t . Отклонение той или иной варианты от средней арифметической, отнесенное к величине среднего квадратического отклонения , называют нормированным отклонением и находят по формуле,

7.1. – Для соответствующих классов найдем функцию нормированного отклонения f(t) по таблице или по формуле,

7.2. – найдем выравнивающие частоты вариационного ряда fI (t). Для того чтобы ордината выражала не вероятность, а абсолютные значения случайной величины, т.е. выравнивающие частоты вариант эмпирического распределения нужно fI (t) найти по формуле,

8. На основании пункта 7 заполним таблицу:

  К
нормированное отклонение t
нормированного отклонения f(t)
выравнивающие частоты вариационного ряда fI (t)

 

9. На графике полигона частот построить точки соответствующие выравнивающей частоте вариационного ряда, вычисленная по нормальному закону.

10. Записать значение исследуемой величины с границами доверительного интервала.

 

Таблица: Значения функции

(ординаты нормальной кривой)

t Сотые долиt
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4,0 0001 0001 0001 0001 0001 0001 0001

 

 

Лекция 2.

Элементы математической статистики. Случайная величина. Распределение дискретных и непрерывных случайных величин и их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. Примеры различных законов распределения. Нормальный закон распре­деления.

Генеральная совокупность и выборка. Гистограмма. Оценка пара­метров нормального распределения по опытным данным. Доверительные ин­тервалы для средних. Интервальная оценка истинного значения измеряемой величины. Применение распределения Стьюдента для определения доверительных ин­тервалов. Методы обработки медицинских данных.

Теория погрешностей, порядок обработка результатов прямых и косвенных измерений. Понятие о корреляционном анализе.

 

Математическая статистика

Методы математической статистики позволяют систематизи­ровать и оценивать экспериментальные данные, которые рассматриваются как случайные величины.

Основные понятия математической статистики

В главе 2 были рассмотрены некоторые понятия и закономерности, которым подчинены массовые случайные явления. Одной из практических задач, связанных с этим, является создание методов отбора данных (статистические данные) из большой сово­купности и их обработки. Такие вопросы рассматриваются в математической статистике.

Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистиче­ских данных для решения научных и практических задач.

Ма­тематическая статистика тесно примыкает к теории вероятностей и базируется на ее понятиях. Однако главным в математической статистике является не распределение случайных величин, а ана­лиз статистических данных и выяснение, какому распределению они соответствуют.

Предположим, что необходимо изучить множество объектов по какому-либо признаку. Это возможно сделать, либо проведя сплош­ное наблюдение (исследование, измерение), либо не сплошное, выбо­рочное.

Выборочное, т. е. неполное, обследование может оказаться предпочтительнее по следующим причинам. Во-первых, естест­венно, что обследование части менее трудоемко, чем обследование целого; следовательно, одна из причин — экономическая. Во-вто­рых, может оказаться и так, что сплошное обследование просто нереально. Для того чтобы его провести, возможно, нужно унич­тожить всю исследуемую технику или загубить все исследуемые биологические объекты. Так, например, врач, имплантирующий электроды в улитку для кохлеарного протезирования (см. § 6.5), должен иметь вероятностные представления о расположении улитки слухового аппарата. Казалось бы, наиболее достоверно та­кие сведения можно было получить при сплошном патологоанатомическом вскрытии всех умерших с производством соответствую­щих замеров. Однако достаточно собрать нужные сведения при выборочных измерениях.

Большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования, называется генеральной сово­купностью, а множество объектов, отобранных из нее, — выбо­рочной совокупностью, или выборкой.

Свойство объектов выборки должно соответствовать свойству объектов генеральной совокупности, или, как принято говорить, выборка должна быть представительной (репрезентативной). Так, например, если целью является изучение состояния здо­ровья населения большого города, то нельзя воспользоваться вы­боркой населения, проживающего в одном из районов города. Ус­ловия проживания в разных районах могут отличаться (различ­ная влажность, наличие предприятий, жилищных строений и т. п.) и, таким образом, влиять на состояние здоровья. Поэтому выбор­ка должна представлять случайно отобранные объекты.

Если записать в последовательности измерений все значения величины х в выборке, то получим простой статистический ряд. Например, рост мужчин (см): 170, 169, ... . Та­кой ряд неудобен для анализа, так как в нем нет последователь­ности возрастания (или убывания) значений, встречаются и по­вторяющиеся величины. Поэтому целесообразно ранжировать ряд, например, в возрастающем порядке значений и указать их повторяемость. Тогда статистическое распределение выборки:171, 172, 172, 168,

 

(3.1)

 

Здесь xi — наблюдаемые значения признака (варианта); ni — число наблюдений варианты xi (частота); рi* — относительная частота.


Общее число объектов в выборке (объем выборки)

всего k вариант. Статистическое распределение — это совокуп­ность вариант и соответствующих им частот (или относительных частот), т. е. это совокупность данных 1-й и 2-й строки или 1-й и 3-й строки в (3.1).

В медицинской литературе статистическое распределение, со­стоящее из вариант и соответствующих им частот, получило на­звание вариационного ряда.

Наряду с дискретным (точечным) статистическим распределе­нием, которое было описано, используют непрерывное (интер­вальное) статистическое распределение:

 

 

(3.2)

 

Здесь xi-1, xi - i-йинтервал, в котором заключено количественное значение признака; ni — сумма частот вариант, попавших в этот интервал; р*i — сумма относительных частот.

В качестве примера дискретного статистического распределения укажем массы новорожденных мальчиков (кг) и частоты (табл. 5).

Таблица 5

 
 

 


 

Общее количество мальчиков (объем выборки)

 

(3.3)

Можно это распределение представить и как непрерывное (интер­вальное) (табл. 6).

Таблица 6

 

2,65 — 2,75 2,75 — 2,85 2,85 — 2,95 2,95 — 3,05 3,05 — 3,15
 

Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона и гистограммы.



Полигон частот — ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами 1, п1 , (х2; п2), ... или для полигона относительных частот — с координатами 1; р1* ), (х2; р2 *), ... (рис. 3.1). Рис. 3.1 относится к распределению, представленному в табл. 5.

Гистограмма частот — совокупность смежных прямоуголь­ников, построенных на одной прямой линии (рис. 3.2), основания прямоугольников одинаковы и равны а, а высоты равны отноше­нию частоты (или относительной частоты) к а:

 

(3.4)

 

Таким образом, площадь каждого прямоугольника равна соответ­ственно


Следовательно, площадь гистограммы частот , а площадь гистограммы относительных частот

Наиболее распространенными характеристиками статистическо­го распределения являются средние величины: мода, медиана и средняя арифметическая, или выборочная средняя.

Мода (Мо) равна варианте, которой соответствует наиболь­шая частота. В распределении массы новорожденных (см. табл. 5) Мо = 3,3 кг.

Медиана (Me) равна варианте, которая расположена в середи­не статистического распределения. Она делит статистический (ва­риационный) ряд на две равные части. При четном числе вариант за медиану принимают среднее значение из двух центральных ва­риант. В рассмотренном распределении (см. табл. 5) Me = 3,4 кг.

Выборочная средняя в) определяется как среднее арифмети­ческое значение вариант статистического ряда:

(3.5)

(3.6)

Для примера (см. табл. 5)

 

Для характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего значения вводят характеристику, называемую выборочной дисперсией, — среднее арифметическое квадратов отклонения ва­риант от их среднего значения:

 

(3.7)

 

Квадратный корень из выборочной дисперсии называют выбороч­ным средним квадратическим отклонением:

 

(3.8)


Для примера (см. табл. 5)



©2015- 2017 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.