Определение скорости точки

при естественном способе задания ее движения

Пусть движение точки А по заданной траектории происходит со-

гласно уравнению S , требуется определить скорость точки в

момент времени t (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Дуговая координата движения точки:

t положение точки А;

t t положение точки А1;

За время точка

За промежуток времени

t проходит путь L S S1 S.

точка прошла путь L ,

значение средней скорости на этом пути

,

но оно отличается от значения скорости в момент времени t. Ско- рость в заданный момент t

,

т. е. значение скорости точки, движение которой задано естествен- ным способом, в любой момент времени равно первой производной от расстояния (дуговой координаты) по времени.

Направление скорости, как отмечалось выше, известно заранее.

Определение ускорения точки

при естественном способе задания ее движения

Вектор a – ускорение точки в данный момент (рис. 6.9, а) – есть

геометрическая сумма касательного a и нормального an

ускорений:

Рис. 6.9. Нормальное (а) и касательное (б) ускорения точки

Вектор a в любой момент времени направлен по касательной (рис. 6.9, б), поэтому вектор a называется касательным, или тан- генциальным ускорением. Модуль касательного ускорения

a d f

dt

(t) ,

равный производной от скорости в данный момент по времени или, иначе, второй производной от расстояния по времени, характеризу- ет быстроту изменения значения скорости.

Доказано, что вектор an

в любой момент времени перпендикуля-

рен касательной, поэтому он называется нормальным ускорением:

Частные случаи движения точки

1. Прямолинейное движение. Если an

, то точка движется

прямолинейно, так как при an

неизменным.

направление скорости остается

2. Равномерное движение.При a

равномерного движения

0, const

уравнение

S .

При начальном расстоянии S0

, т. е. точка в момент начала

движения находится в начале отсчета расстояний, уравнение рав- номерного движения упрощается: S t .

Если a

0 и an

0 , то движение точки называется равномер-

ным прямолинейным. Если a

0 и an

, то точка движется рав-

номерно по криволинейной траектории.

Равномерное движение точки по окружности

При таком движении (рис. 6.10) a

0 и an

, так

как при равномерном движении const , а при движении по

окружности ρ

. Из формулы

S S0

t скорость рав-

номерного движения по окружности

.

Рис. 6.10. Равномерное движение точки по окружности

Если принять t = Т – периоду, т. е. времени одного обхода точ-

кой окружности, то S и

или ,

T T

где d – диаметр окружности.

3. Равнопеременное движение. Если a

A a g

9,81 м с2 . В этом слу-

чае, если в формулах из пункта (Б) S заменить высотой падения Н, то формулы примут вид

gt 2

H ;

2

H

H t.

Предпоследняя из этих формул, представленная в виде

, называется формулой Галилея.

ГЛАВА 7. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Поступательное движение

Движение твердого тела, при котором любой выбранный в теле отрезок прямой перемещается, оставаясь параллельным своему пер- воначальному положению, называется поступательным.

Рассмотрим две точки А и В, соединенные отрезком АВ

(рис. 7.1). Очевидно, что при перемещении отрезка АВ параллельно

первоначальному положению ( AB || A1B1 || A2 B2 ) точки A и В дви-

жутся по одинаковым траекториям, т. е. если траекторию

BB1B2

совместить с траекторией

AA1 A2 , то они совпадут. Если вместе с

точкой A рассмотреть движение точки C, то при движении тела от- резок АС также остается параллельным своему первоначальному положению ( AC || A1C1 || A2C2 ) и траектория точки C (кривая

CC1C2 ) одинакова с траекториями AA1 A2 и BB1B2 :

, или , или ;

aA , или aA1 , или aA2 .

Рис. 7.1. К анализу поступательного движения твердого тела

Как видим, поступательное движение твердого тела полностью харак- теризуется движением любой его точки. Обычно поступательное движе- ние тела задается движением его центра тяжести, иначе говоря, при по- ступательном движении тело можно считать материальной точкой.

Примерами поступательного движения тел могут служить какой- либо ползун 1, движущийся в прямолинейных направляющих 2 (рис. 7.2, а), или прямолинейно движущийся автомобиль (вернее, не

весь автомобиль, а его шасси с кузовом). Иногда криволинейное дви- жение на поворотах дорог автомобилей или поездов условно прини- мают за поступательное. В подобных случаях говорят, что автомобиль или поезд движутся с такой-то скоростью или с таким-то ускорением.

Примерами криволинейного поступательного движения служат движение вагончика (люльки) подвесной канатной дороги (рис. 7.2, б) или движение спарника (рис. 7.2, в), соединяющего два параллельных кривошипа. В последнем случае каждая точка спар- ника движется по окружности.

Рис. 7.2. Примеры поступательного движения тел:

а – прямолинейного; б, в – криволинейного

7.2. Вращательное движение. Угловая скорость, угловое ускорение

Движение твердого тела, при котором все его точки перемеща- ются по окружности, центры которой расположены на перпендику- лярной этим окружностям неподвижной прямой, называется вра- щательным. Неподвижная прямая, на которой лежат центры кру- говых траекторий точек тела, называется его осью вращения. Для образования оси вращения достаточно закрепить какие-либо две точки тела. В качестве примеров вращательного движения тел мож- но привести движение дверей или створок окон при их открывании или закрывании.

Представим себе тело в виде цилиндра, ось AB которого лежит в подшипниках (рис. 7.3).

Рис. 7.3. К анализу вращательного движения твердого тела

Движением одной какой-либо точки однозначно определить вращательное движение тела нельзя.

Для установления закона вращательного движения тела, по кото- рому можно определять его положение в данный момент, проведем через ось вращения тела связанную только с нею неподвижную по- луплоскость НП, а внутри тела отметим подвижную полуплоскость, которая вращается около оси вместе с телом, теперь угол φ, образу- емый в каждый данный момент времени полуплоскостями НП и ПП, точно определяет положение тела в пространстве (см. рис. 7.3). Угол φ называется углом поворота и выражается в радианах. Чтобы определять положение тела в пространстве в любой момент време- ни, необходимо знать зависимость между углом поворота φ и вре- менем t, т. е. знать закон вращательного движения тела:

φ

Быстрота изменения угла поворота во времени характеризуется величиной, которая называется угловой скоростью.

Представим, что в некоторый момент времени t положение вра- щающегося тела определяется углом поворота φ, а в момент t + Δt – углом поворота φ + Δ φ. Следовательно, за время Δt тело поверну- лось на угол Δ φ, и величина

 

ωср

 

называется средней угловой скоростью.

ω

 

Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение,

обозначаемое ε . Среднее ускорение εср ;

 

 

ε .

 

Единица углового ускорения 1 рад/с2.

Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода часовой стрелки, считать положительным, а отсчитываемый по ходу часо- вой стрелки – отрицательным.

Рис. 7.4. К определению вида вращательного движения

Векторы ω и ε – это скользящие векторы, которые направлены по оси вращения, чтобы, глядя из конца вектора ω (или ε ), видеть вращение, происходящее против часовой стрелки.

Если векторы ω и ε направлены в одну сторону (рис. 7.4, а), то

вращательное движение тела ускоренное – угловая скорость возрас- тает. Если векторы ω и ε направлены в противоположные сторо- ны, то вращение тела замедленное – угловая скорость уменьшается (рис. 7.4, б).

 

 

Предыдущая12345678910111213141516Следующая

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.