Пространственная система произвольно расположенных сил. Условие равновесия

Ранее подробно был изложен процесс приведения сил к точке и доказано, что любая плоская система сил приводится к силе – глав- ному вектору – и паре, момент которой называется главным момен-

том, причем эквивалентные данной системе сил сила и пара дей- ствуют в той же плоскости, что и заданная система. Значит, если главный момент изобразить в виде вектора, то главный вектор и главный момент плоской системы сил всегда перпендикулярны друг другу.

Рассуждая аналогично, можно последовательно привести к точ- ке силы пространственной системы. Но теперь главный вектор есть замыкающий вектор пространственного (а не плоского) сило- вого многоугольника; главный момент уже нельзя получить алгеб- раическим сложением моментов данных сил относительно точки приведения. При приведении к точке пространственной системы сил присоединенные пары действуют в различных плоскостях и их моменты целесообразно представлять в виде векторов и склады- вать геометрически. Поэтому полученные в результате приведения пространственной системы сил главный вектор (геометрическая сумма сил системы) и главный момент (геометрическая сумма мо- ментов сил относительно точки приведения), вообще говоря, не перпендикулярны друг другу.

Векторные равенства

Fгл

и Mгл

выражают необходимое

и достаточное условие равновесия пространственной системы про- извольно расположенных сил.

Если главный вектор равен нулю, то его проекции на три взаим- но перпендикулярные оси также равны нулю. Если главный момент равен нулю, то равны нулю и три его составляющие на те же оси:

Значит, произвольная пространственная система сил статически определима лишь в том случае, когда число неизвестных не превы- шает шести.

Среди задач статики часто встречаются такие, в которых на тело действует пространственная система параллельных друг другу сил (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Пространственная система параллельных сил

Уравнения равновесия для пространственной системы парал- лельных сил:

В пространственной системе параллельных сил неизвестных должно быть не больше трех, иначе задача становится статически неопределимой.

ГЛАВА 6. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Основные понятия кинематики

Раздел механики, занимающийся изучением движения матери- альных тел без учета их масс и действующих на них сил, называется кинематикой.

Движение – основная форма существования всего материально- го мира, покой и равновесие – частные случаи.

Всякое движение, и механическое в том числе, происходит в пространстве и во времени.

Все тела состоят из материальных точек. Чтобы получить пра- вильное представление о движении тел, начинать изучение нужно с движения точки. Перемещение точки в пространстве выражается в метрах, а также в дольных (см, мм) или кратных (км) единицах дли- ны, время – в секундах. В практике или жизненных ситуациях вре- мя часто выражают в минутах или часах. Отсчет времени при рас- смотрении того или иного движения точки ведут от определенного, заранее обусловленного начального момента (t = 0).

Геометрическое место положений движущейся точки в рассмат- риваемой системе отсчета называется траекторией. По виду тра- ектории движение точки делится на прямолинейное и криволиней- ное. Траектория точки может быть определена и задана заранее. Так, например, траектории искусственных спутников Земли и меж- планетных станций вычисляют заранее, или если принять движу- щиеся по городу автобусы за материальные точки, то их траектории (маршруты) также известны. В подобных случаях положение точки в каждый момент времени определяется расстоянием (дуговой ко- ординатой) S, т. е. длиной участка траектории, отсчитанной от неко- торой ее неподвижной точки, принятой за начало отсчета. Отсчет расстояний от начала траектории можно вести в обе стороны, по- этому отсчет в одну какую-либо сторону условно принимают за по- ложительный, а в противоположную – за отрицательный, т. е. рас- стояние S – величина алгебраическая. Она может быть положитель- ной (S > 0) или отрицательной (S < 0).

При движении точка за определенный промежуток времени про- ходит некоторый путь L, который измеряется вдоль траектории в направлении движения (рис. 6.1):

S1 .

Если точка стала двигаться не из начала отсчета O, а из поло- жения, находящегося на начальном расстоянии S0, то

L .

Рис. 6.1. Движение точки

Векторная величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется ско- ростью. Единицы скорости:

км 103 м

1 = .

ч 3600 с с

Скорость точки в любой момент ее движения направлена по ка- сательной к траектории (рис. 6.2):

Рис. 6.2. Вектор скорости точки

Отметим, что это векторное равенство характеризует лишь по-

ложение , а модуль средней скорости за время

где

AA1

– путь, пройденный точкой за время .

Модуль средней скорости равен частному от деления пройден- ного пути на время, в течение которого этот путь пройден.

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения направления и числового значения скорости, называется ускоре- нием (рис. 6.3):

.

Рис. 6.3. Ускорение точки

При равномерном движении по криволинейной траектории точка тоже имеет ускорение, так как и в этом случае изменяется направ- ление скорости (рис. 6.4):

Рис. 6.4. К определению ускорения точки

За единицу ускорения принимают обычно 1 м .

с2

6.2. Способы задания движения точки

Существует три способа задания движения: естественный, коор- динатный, векторный.

Естественный способ задания движения точки. Если кроме траектории, на которой отмечено начало отсчета O, задана зависи-

мость S между расстоянием S и временем t, это уравнение

называется законом движения точки по заданной траектории

(рис. 6.5).

Пример: S 0,5t.

Рис. 6.5. Траектория движения точки

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки

по которой определяется уравнением S S . Тогда

в момент времени t0 S0 0 , т. е. точка находится в начале от-

счета O; в момент времени

2 2

t1 1 c

точка находится на расстоянии

0,5 1 0,5 м ; в момент времени t2

точка нахо-

дится на расстоянии S2

0,5t2

0,5 22

2 м от начала отсчета O.

Координатный способ задания движения точки. Когда траек- тория точки заранее не известна, положение точки в пространстве определяется тремя координатами: абсциссой X, ординатой Y и ап-

пликатой Z (рис. 6.6): X или, исключив

время, Ф(X ,Y, Z) .

Рис. 6.6. Координатный способ задания движения точки

Эти уравнения выражают закон движения точки в прямо- угольной системе координат (OXYZ).

В частном случае, если точка движется в плоскости, закон дви-

жения точки выражается двумя уравнениями: X

или Ф(X ,Y ) .

Пример 6.1.Движение точки в плоской системе координат зада-

но уравнениями X и Y (X и Y – см, t – с) (рис. 6.7). Тогда

в момент времени t0 и Y0 0 , т. е. точка находится в

начале координат; в момент времени

t1 1 c

координаты точки

X1 , Y1

3t1

3 1 3 см ; в момент времени t2

координаты точки X2

2t2

2 2 4 см , Y2

3t2

3 2 6 см и т. д.

Рис. 6.7. К примеру 6.1

Зная закон движения точки в прямоугольной системе координат, можно определить уравнение траектории точки.

Например, исключив время t из заданных выше уравнений

X и Y

, получим уравнение траектории 3x

. Как

видим, в этом случае точка движется по прямой, проходящей через начало координат.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: