Сделай Сам Свою Работу на 5

Квантовая теория свободных электронов в металле





Согласно модели свободных электронов валентные электроны атомов металла могут почти свободно перемещаться в пределах образца. Именно валентные электроны обусловливают электро­проводность металла, и по этой причине их называют электро­нами проводимости.

Рассмотрим образец металла, который для простоты будем считать имеющим форму куба со стороной L. Допустим, что электроны проводимости движутся в пределах образца совер­шенно свободно. Положив в уравнении Шредингера для стационарных состояний( ) U=0, получим уравнение Шрёдингера для свободного электрона

(1.1)

(m - масса электрона).

Легко проверить подстановкой, что решение уравнения (1.1) имеет вид

, (1.2)

где есть волновой вектор электрона, связанный с энергией соотношением

. (1.3)

Условие нормировки пси-функции запишется следующим образом (интегрирование производится по объему образца V, рав­ному L3):

.

Полагая С вещественным, получим для него значение .

Подстановка в (1.2) дает

(51.4)

Пси-функция должна удовлетворять граничным условиям, которые заключаются в требовании, чтобы она была периоди­ческой по х, у, z с периодом L. Легко убедиться в том, что функция (1.4) будет удовлетворять этим условиям при значе­ниях компонент волнового вектора, равных



(1.5)

где n1, n2 и n3 — целые числа, принимающие независимо друг от друга значения 0, ±1, ±2 и т. д. Действительно, подста­новка значений (1.5) в (1.4) дает

.

Замена x через x + L либо y через y + L и т. д. оставляет функ­цию без изменений (появляется лишь множитель, равный 1).

Таким образом, значения волнового вектора квантуются. Соответственно квантуется и энергия электрона проводимости в металле. Подстановка значений (1.5) в формулу (1.3) при­водит к следующему выражению для энергии:

. (1.6)

Состояние электрона проводимости определяется значением волнового вектора k (т. е. значениями kx, ky, kz) и спиновым квантовым числом ms = ± 1/2. Следовательно, состояние можно задать четырьмя квантовыми числами: п1, п2, п3, ms. Энергия электрона определяется суммой квадратов квантовых чисел ni. Одной и той же сумме квадратов соответствует (кроме случая n1 = n2 = n3 = 0) несколько различных комбинаций чисел ni. Сле­довательно, уровни энергии являются вырожденными. Уровень Ea(n1 = n2 = ns = 0) имеет кратность вырождения, равную двум (ms = ± 1/2). Следующий уровень E1, реализуется при 12 различных комби­нациях квантовых чисел (см. табл. 1.1), уровень E2 — при 24 комбинациях и т. д. Таким образом, с ростом энер­гии увеличивается число различных состояний, отвечающих данному значению Е.



Введем воображаемое пространство, по осям которого будем откладывать зна­чения квантовых чисел n1, п2, п3. В этом пространстве каждой паре состояний (отличающихся значениями ms) соответствует точка. Поверхность равных значений энергии имеет форму сферы радиуса . Число состояний , энергия которых не превышает значения (см. (1.6)), равно удвоенному количеству точек, содержа­щихся внутри сферы радиуса . Поскольку точки расположены с плотностью, равной единице, определяется удвоенным объемом сферы:

. (1.7)

Исключив из (1.6) и (1.7) сумму квадратов чисел ni, по­лучим

. (1.8)

(V — объем образца металла). Полученная нами формула определяет число состояний, энергия которых не превышает значение Е.

Из соотношения (1.8) вытекает, что

.

Здесь есть число состояний с энергией, заключенной в ин­тервале от Е до E+dE. Следовательно, плотность состояний g(E) = dv/dE, т. е. число состояний, приходящееся на единичный интервал энергии, равно

. (1.9)

Пусть число свободных электронов в единице объема металла равно n. Тогда в образце металла будет содержаться nV сво­бодных электронов. Вследствие принципа Паули при абсолют­ном нуле эти электроны расположатся по одному в каждом состоянии на самых низких энергетических уровнях. Поэтому все состояния с энергией Е, меньшей некоторого значения EF(0), будут заполнены электронами, состояния же с E>EF(0) будут вакантными. Энергия EF(0) называется уровнем Ферми при абсолютном нуле. Далее будет показано, что уровень Ферми играет роль параметра ЕF в распределении электронов по состояниям с различной энергией. Этот параметр слабо зависит от температуры. Величина ЕF (0) представляет собой значение параметра ЕF при T = 0 K.



Изоэнергетическая поверхность (поверхность постоянной энергии) в

k-пространстве (или, что то же самое, в р-пространстве; ), соответствующая значе­нию энергии, равному EF, носит название поверхности Ферми. В случае свободных электронов эта поверхность описывается уравнением

(см. (1.3)) и, следовательно, имеет форму сферы. При абсолютном нуле температур поверхность Ферми отделяет состоя­ния, заполненные электронами, от незаполненных состояний. Значение EF(0) можно найти, положив в формуле (1.8) :

Отсюда

(1.10)

Оценим значение EF(0). Концентрация электронов проводи­мости в металлах лежит в пределах от 1022 до 1023 см-3. Взяв для п среднее значение см-3, получим

.

Найдем среднюю энергию электронов при абсолютном нуле. Суммарная энергия электронов, заполняющих состояния с энер­гиями от Е до E+dE, определяется выражением

EdvE=Eg(E)dE.

Суммарная энергия всех электронов проводимости равна

Разделив эту энергию на полное число электронов, равное , получим среднюю энергию одного электрона:

.

Подстановка выражения (1.9) для g(E) дает

. (1.11)

Для EF(0) мы получили значение порядка 5 эВ. Следовательно, средняя энергия электронов проводимости при абсолютном нуле составляет примерно 3 эВ. Это огромная величина. Чтобы со­общить классическому электронному газу такую энергию, его нужно нагреть до температуры порядка 25 тысяч кельвин.

Теперь можно объяснить, почему электронный газ вносит очень малый вклад в теплоемкость металлов. Средняя тепловая энергия, равная по порядку величины kT, составляет при ком­натной температуре 1/40 эВ. Такая энергия может возбудить только электроны, находящиеся на самых верхних уровнях, примыкающих к уровню Ферми. Основная масса электронов, размещенных на более глубоких уровнях, останется в прежних состояниях и поглощать энергию при нагревании не будет. Таким образом, в процессе нагревания металла участвует лишь незначительная часть электронов проводимости, чем и объясняется малая теплоемкость электронного газа в металлах.

На рис. 1.1 показан гра­фик функции (1.9). Заштри­хованная площадь дает чис­ло состояний, заполненных электронами при абсолют­ном нуле. Нагревание ме­талла сопровождается пе­реходом электронов с уровней, примыкающих к уровню Ферми, на уровни, лежащие выше ЕF(0). В результате резкий край заштрихованной фигуры на рис. 1.1 будет размыт. Кривая заполнения уровней электронами примет в этой области вид, показанный пунктирной линией. Площадь под этой кривой оста­ется той же, какой она была при абсолютном нуле (площадь равна nV). Область размытия имеет ширину порядка kT. Сле­довательно, в процессе нагревания металла будет участвовать доля электронов, равная приблизительно T/TF, где

(1.12)

— величина, называемая температурой Ферми. В резуль­тате теплоемкость электронов составит

.

При комнатной температуре Сэл примерно в 100 раз меньше классического значения (T≈300 К, TF≈25000K).

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.