Сделай Сам Свою Работу на 5

ДИНАМИКА СВОБОДНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

 

 

Как будет показано далее (стр. 117), система тел совершает свободные гармонические колебания, если в ней действует внутренняя сила, всегда на­правленная в сторону положения устой­чивого равновесия и по величине прямо пропорциональная смещению

Fх = - l×x. (VI.3)

В формуле (VI.3) множитель l — это коэффициент пропорциональности, а знак минус указывает на то, что сила на­правлена в сторону положения равнове­сия, т.е. противоположно направлению смещения х. Силу иногда называют в о з в р а щ а ю щ е й с и л о й.

Покажем, что силы типа (VI.3) дей­ствуют в колебательных системах, кото­рые называются м а т е м а т и ч е с к и м м а я т н и к о м и п р у ж и н н ы м м а я т н и о м. Исследуем дина­мику свободных гармонических колеба­ний на примере этих механических коле­бательных систем.

Математический маятник (рис. 104) состоит из тела массы т, подвешенного на нерастяжимой нити длиной АВ = в поле сил тяжести. При этом тело, которое считается материальной точкой, может отклоняться от положения равновесия О на малый угол α. В точке В на тело действуют сила тяжести и сила натяже­ния нити .

Проекция равнодей­ствующей силы на направление смеще­ния равна Fх = - mg×sinα, но так как угол α мал, то sinα » α и Fх = - mg×α. Ве­личина угла α в радианной мере есть от­ношение длины дуги ОВ (которая приб­лиженно равна смещению х) к длине нити : .

Следовательно, в случае математического маятника выраже­ние для возвращающей силы имеет вид (VI.3) при :

. (VI.4)

Динамика движения математического маятника подчиняется второму закону Ньютона, уравнение которого мы запи­шем в проекции на ось ОХ:

 

 

Сократим в этом уравнении массу и, обо­значая

, (VI.5)

получаем уравнение движения математического маятника

ах = - w2× х.(VI.6)

Решение уравнения (VI.3), которое мож­но найти, используя высшую математику, имеет вид (VI. 1)

 

х (t) = А × sin (wt + j0).

 

Значения амплитуды А и начальной фа­зы j0 определяются начальными условия­ми: величиной смещения (VI. 1) и скоро­сти (VI.2) движения маятника в началь­ный момент времени:



x0 = x(t = 0), υ0 = υ (t = 0).

Начальные условия можно задавать про­извольно.

Период колебаний математического маятника Т связан с циклической часто­той w соотношением Т = 2p/w; подставляя в это соотношение значение циклической частоты из формулы (VI.5), находим

. (VI.7)

Период колебаний математического маятника не за­висит от массы тела. Период тем больше, чем больше длина нити маятника.

Математический маятник можно ис­пользовать для приближенного вычисления величины ускорения свободного падения. Для этого нужно экспериментально измерить длину нити и период колебаний маят­ника Т, после чего из формулы (VI.7) определяется модуль ускорения свобод­ного падения

. (VI.8)

Пружинный маятник (рис. 105) со­стоит из тела массой т — груза, который может перемещаться без трения по гори­зонтальной оси под действием силы упругости пружины с коэффициентом упругости k. Положе­ние груза в точке 0, когда пружина не растянута и не сжата, — это положение равновесия. Если сместить груз вправо (растянуть пружину) и отпустить его, то груз под действием силы со стороны пружины будет совершать колебательное движение около положения равновесия. Проекция на ОХ силы, действующей на груз, по закону Гука равна Fх = - k×x. Воз­вращающая сила имеет вид (VI.3) при l = k. Значит, колебания пружинного маятни­ка будут гармоническими.

Из уравнения второго закона Ньюто­на, записанного

в проекции на ось ОХ: тах = - k× x, следует уравнение

колебаний пружинного маятника
ах = - w2 × х, (VI.9)

 

в котором мы сделали обозначение

. (VI.10)

Сравнивая уравнения движения пружин­ного маятника (VI.9) и математического маятника (VI.6), мы видим, что эти урав­нения точно совпадают. Значит, совпа­дают и решения этих уравнений: зависи­мость смещения груза от времени также описывается формулой (VI.1)

х (t) = А × sin (wt + j0).

Период колебаний находим по формуле Т = 2p/w, или

. (VI.11)

Период колебаний пружинного маятника тем боль­ше, чем больше масса груза и чем меньше коэффициент упругости пружины.

Скорость и ускорение тела — это соответственно первая и вторая произ­водные по времени радиуса вектора это­го тела в некоторой системе координат

 

 

Возьмём проекции этих векторов на ось ОХ, так как и математический и пружинный маятники совершают колебательное движение вдоль оси ОХ. Проек­ция радиуса-вектора — это координа­та х, проекция скорости и ускорения

 

.

 

Подставляя ускорение в формулу (VI.6) или (VI.9),

получаем дифференциальное уравнение

. (VI.12)

Уравнение вида (VI. 12) называется урав­нением гармонических колебаний.

Проверим, является ли функция (VI.1) х = А × sin (wt + j0) решением уравнения гармонических колебаний. Для этого два раза продифференцируем (VI. 1):

— это формула зависимости ско­рости от времени при гармонических колебаниях,

— это формула зависимости ускорения от времени при гармонических колебаниях.

После подстановки смещения х и ус­корения а в уравнение (VI.12) это урав­нение становится тождеством, т.е. (VI.1) есть решение уравнения гармонических колебаний.

 

    !!! Запомните формулы и соотношения для гармонических колебаний: смещение: х = А × sin (wt + j0) скорость: υ = w× A ×cos (wt + j0) ускорение: а = - w2×А × sin (wt + j0) период колебаний: — математического маятника ; — пружинного маятника .    

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Под действием каких сил система тел может совершать свободные гармонические колебания?

2. Где больше период колебаний одного и того же математического маятника: на Земле или на Луне?

3. Если увеличить массу груза пружинного маятника, то частота его колебаний увеличится или уменьшится?

 

 

возвращающая сила returning force force de rappel fuerza regresiva
математический маятник simple pendulum pendule simple péndulo simple
пружинный маятник spring pendulum pendule á réssort péndulo de resоrte
начальные условия initial conditions conditions initiales condiciones iniciales  

 

МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ



©2015- 2017 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.