Сделай Сам Свою Работу на 5

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

 

Основные формулы

· Связь между молярной (Cm) и удельной (с) теплоемкостями газа

Cm=cM,где М — молярная масса газа.

· Молярные теплоемкости* при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны

Cv=iR/2; Cp=(i+2)R/2

где i — число степеней свободы; R молярная газовая постоян­ная.

· Удельные теплоемкости при постоянной объеме и постоянном давлении соответственно равны

, .

· Уравнение Майера

Cр—Сv=R.

· Показатель адиабаты

, или , или .

· Внутренняя энергия идеального газа

U=N<e> или U=vCvT,

где <e>—средняя кинетическая энергия молекулы; N—число молекул газа; v — количество вещества.

· Работа, связанная с изменением объема газа, в общем случае вычисляется по формуле

,

где V1 начальный объем газа; V2 его конечный объем.

Работа газа:

а) при изобарном процессе (p=const)

A=p(V2 - V1);

б) при изотермическом процессе (T=const)

;

* Здесь и далее в целях упрощения записи в индексах обозначений молярной теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме букву «m» будем опускать.

 

в) при адиабатном процессе

, или ,

где T1 — начальная температура газа; T2 его конечная темпера­тура.

· Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиа­батном процессе)

.

· Связь между начальным и конечным значениями параметров состояний газа при адиабатном процессе:

.

· Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде

Q=DU+A,

где Q – количество теплоты, сообщённое газу; DU—изменение его внутренней энергии; А работа, совершаемая газом против внешних сил.

Первое начало термодинамики:

а) при изобарном процессе

б) при изохорном процессе (A=0)

;

в) при изотермическом процессе (DU=0)

,

г) при адиабатном процессе (Q=0)

.

· Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае

,

где Q1—количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя; Q2—количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.

КПД цикла Карно

, или ,

где T1 — температура нагревателя; T2 — температура охладителя.

· Изменение энтропии

где A и B — пределы интегрирования, соответствующие начально­му и конечному состояниям системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование проводится по любому пути.

· Формула Больцмана

S=k×lnW,

где S — энтропия системы; W — термодинамическая вероятность ее состояния; k постоянная Больцмана.

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить удельные теплоемкости неона и водорода при постоянных объеме (сv) и давлении (cp), принимая эти газы за идеальные.

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выра­жаются формулами

; (1)

. (2)

Для неона (одноатомный газ) i1=3, M1=20×10 кг/моль.

Подставив в формулы (1) и (2) значения i1, M1 и R и произведя вычисления, найдем:

сv1= 624 Дж/(кг×К); сp1=1,04 кДж/(кг×К).

Для водорода (двухатомный газ) i2=5, M2=2×10-3 кг/моль.

Вычисление по формулам (1) и (2) дает следующие значения удельных теплоемкостей водорода:

сv2=10,4 кДж/(кг×K); сp2=14,6 кДж/(кг×K).

Пример 2. Вычислить удельные теплоемкости сv и сp смеси неона и водорода. Массовые доли газов соответственно равны w1=0,8 и w2=0,2. Значения удельных теплоемкостей газов взять из примера 1.

Решение. Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме сv найдем из следующих рассуждений. Теплоту, необходи­мую для нагревания смеси на DT, выразим двумя соотношениями:

Q=сv(m1+m2)DT (1)

где сv — удельная теплоемкость смеси; m1 — масса неона; m2 — масса водорода, и

Q=(сv1m1+ сv2m2)DT (2)

где сv1 и сv2 удельные теплоемкости неона и водорода соответст­венно.

Приравняв правые части выражений (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства наDT, найдем

сv(m1+m2)=сv1m1+ сv2m2,

откуда

Отношения w1=m1/(m1+m2) и w1=m2/(m1+m2) выражают мас­совые доли соответственно неона и водорода. С учетом этих обозна­чений последняя формула, примет вид

сvv1w1+ сv2w2.

Подставив в эту формулу числовые значения величин, найдем

сv=2,58 кДж/(кг×К).

Рассуждая таким же образок, получим формулу для вычисления удельной теплоёмкости смеси при постоянном давлении:

cpp1w1+ сp2w2

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

cp=3,73 кДж/(кг×К).

Пример 3. Определить количество теплоты, поглощаемой водоро­дом массой m=0,2 кг при нагревании его от температуры t1=0°С до температуры t2=100 °С при постоянном давлении. Найти также изменение внутренней энергии газа и совершаемую им работу.

Решение. Количество теплоты Q, поглощаемое газом при изобарном нагревании, определяется по формуле

Q=mcpDT, (1)

где m масса нагреваемого газа; cp его удельная теплоемкость при постоянном давлении; DT — изменение температуры газа.

Как известно, . Подставив это выражение cp в формулу (1), получим

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

Q=291 кДж.

Внутренняя энергия выражается формулой , сле­довательно, изменение внутренней энергии

.

После подстановки в эту формулу числовых значений величин и вычислений получим DU=208 кДж.

Работу расширения газа определим по формуле, выражающей первое начало термодинамики: Q=DU+A, откуда

A=Q - DU.

Подставив значения Q и DU, найдем

А =83 кДж.

Пример 4. Кислород занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением р1=200 кПа. Газ нагрели сначала при по­стоянном давлении до объема V2=3 м2, a затем при постоянном объеме до давления Рис 11.1 р2=500 кПа. Построить график процесса и найти: 1) изменение DU внутренней энер­гии газа; 2) совершенную им работу A; 3) количество теплоты Q, переданное газу.

Решение. Построим график процесса (рис. 11.1). На графике точками 1, 2, 3 обозначены состояния газа, характеризуемые пара­метрами (р1, V1, T1), (р1, V2, T2),(р2, V2, T3).

1. Изменение внутренней энергии газа при переходе его из со­стояния 1 в состояние 3 выражается формулой

DU=cvmDT,

где cv удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; mмасса газа; DT — разность температур, соответствующих конечному 3и начальному 1 состояниям, т. е. DT=T3 T1. Так как ;

где М — молярная масса газа, то

. (1)

Температуры T1 и T3 выразим из уравнения Менделеева — Кла­пейрона ( ):

С учетом этого равенство (1) перепишем в виде

DU=(i/2)(p2V2-p1V1).

Подставим сюда значения величин (учтем, что для кислорода, как двухатомного газа, i=5) и произведем вычисления:

DU=3,25 МДж.

2. Полная работа, совершаемая газом, равна A=A1+A2, где A1 работа на участке 1—2; A2 — работа на участке 2—3,

На участке 1—2 давление постоянно (p=const). Работа в этом случае выражается формулой A1=p1DV=p1(V2—V1). На участке 2—3 объем газа не изменяется и, следовательно, работа газа на этом участке равна нулю (A2=0). Таким образом,

A=A1=p1(V2—V1).

Подставив в эту формулу значения физических величин, произ­ведем вычисления:

A=0,4 МДж

3. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме ра­боты A, совершенной газом, и изме­нению DU внутренней энергии:

Q=A+DU, или Q=3,65 МДж.

Пример 5. Идеальный двухатом­ный газ, содержащий количество ве­щества v=l моль, находится под дав­лением p1=250кПа и занимает объем V1==10 л. Сначала газ изохорно на­гревают до температуры T2=400 К. Далее, изотермически расширяя, до­водят его до первоначального давле­ния. После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определить термический КПД h цикла.

Решение. Для наглядности построим сначала график цикла, который состоит из изохоры, изотермы и изобары. В координатах р, Vэтот цикл имеет вид. представленный на рис. 11.2. Характерные точки цикла обозначим 1, 2, 3.

Термический КПД любого цикла определяется выражением

h=(Q1 – Q2)/Q1, или h=l – Q2/Q1, (1) где Q1 количество теплоты, полученное газом за цикл от нагре­вателя; Q2 — количество теплоты, отданное газом за цикл охлади­телю.

Заметим, что разность количеств теплоты Q1 – Q2 равна работе A, совершаемой газом за цикл. Эта работа на графике в координа­тах р, V (рис. 11.2) изображается площадью цикла (площадь цикла заштрихована).

Рабочее вещество (газ) получает количество теплоты Q1 на двух участках: Q1-2 на участке 1—2 (изохорный процесс) и Q2-3 на участке 2—3 (изотермический процесс). Таким образом,

Q1=Q1-2+Q2-3.

Количество теплоты, полученное газом при изохорном процессе, равно

Q1-2=Cvv(T2 T1),

где Cv — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; v — количестве вещества. Температуру T1 начального состояния газа найдем, воспользовавшись уравнением Клапейрона — Менде­леева:

T1=p1V1/(vR).

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

Количество теплоты, полученное газом при изотермическом про­цессе, равно

Q2-3=vRT2ln(V2/V1),

где V2 объем, занимаемый газом при температуре T2 и давлении p1 (точка 3 на графике).

На участке 3—1 газ отдает количество теплоты Q2, равное

Q2=Q3-1=Cpv(T2 T1), где Cp молярная теплоемкость газа при изобарном процессе.

Подставим найденные значения Q1 и Q2 в формулу (1):

В полученном выражении заменим отношение объемов V2/V1, со­гласно закону Гей-Люссака, отношением температур (V2/V1=T2/T1) и выразим Cv и Cp через число степеней свободы молекулы [Cv=iR/2, Cp=(i+2)R/2]. Тогда после сокращения на v и R/2получим

.

Подставив значения i, T1, T2 и R и произведя вычисления, най­дем

Пример 6. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре T1=300K. Водород начал расширяться адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изо­термически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти тем­пературу Т2, в конце адиабатного расширения и работу А, совершен­ную газом. Изобразить процесс графически.

Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиа­батный процесс, связаны между собой соотношением

,

где g— показатель адиабаты (для водорода как двухатомного газа g=1,4).

Отсюда получаем выражение для конечной температуры T2:

.

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

.

Прологарифмируем обе части полученного выражения:

lgT2=lg300+0,4(lgl - lg5)=2,477+0,4( -0,699)=2,477—0,280=2,197.

Зная lgT2, по таблицам антилогарифмов находим искомое зна­чение T2:

T2=157 К.

Работа A1 газа при адиабатном расширении определяется по формуле

.

Подставив сюда числовые значения величин, после вычисления получим

Работа A2 газа при изотермическом сжатии выражается форму­лой

A2=RT2(m/M)ln(V2/V1).

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

A2= -21 кДж.

Знак минус показывает, что при сжатии газа работа совершена внешними силами.

Общая работа, совершенная газом при рассмотренных процессах, А=A1+A2=29,8кДж + (-21 кДж)=8,8 кДж.

График процесса приведен на рис. 11.3.

Пример 7. Нагреватель тепловой машины, работающей по обра­тимому циклу Карно, имеет температуру t1==200°С. Определить температуру Т2, охладителя, если при получении от нагревателя количества теплоты Q1= 1 Дж машина совершает работу A=0,4 Дж? Потери на трение и теплоотдачу не учитывать.

Решение. Температуру охладителя найдем, использовав выражение для термического КПД ма­шины, работающей по циклу Карно, h=(T1 T2)/T1. Отсюда

T2= T1(1-h). (1)

Термический КПД тепловой машины выражает отношение количества тепло­ты, которое превращено в механичес­кою работу A, к количеству теплоты Q1, которое получено рабочим телом тепло­вой машины из внешней среды (от нагре­вателя), т. е. h=A/Q1. Подставив это выражение в формулу (1), найдем

T2= T1(1-A/Q). (2)

Учтя, что T1=473 К, после вычисления по формуле (2) получим T2=284 К.

Пример 8. Найти изменение DS энтропии при нагревании воды массой m=100 г от температуры t1=0°C до температуры t2=100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

Решение. Найдем отдельно изменение энтропии DS' при нагревании воды и изменение энтропии DS" при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой DS' и DS".

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

(1)

При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты dQ=mcdT, где m масса тела; с — его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (1), найдем формулу для вычисления изменения энтро­пии при нагревании воды:

.

Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование, тогда получим

DS'=mcln(T2/T1).

После вычислений найдем DS'=132 Дж/К.

При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температуpa T 'выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем

(2)

где Q количество теплоты, переданное при превращении нагре­той воды в пар той же температуры.

Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты Q=lm, где l удельная теплота парообразования, получим

(3)

Произведя вычисления по формуле (3), найдем

DS"=605 Дж/К.

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последую­щем превращении ее в пар DS=DS'+DS"=737 Дж/К.

Пример 9. Определить изменение DS энтропии при изотермиче­ском расширении кислорода массой m=10 г от объема V1=25 л до объема V2=100 л.

Решение. Так как процесс изотермический, то в общем выражении энтропии температуру выносят за знак интеграла. Выполнив это, получим

(1)

Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу термодинамики: Q=DU+A. Для изотермического процесса DU=0, следовательно,

Q=A, (2) а работа А для этого процесса определяется по формуле

A=(m/M)RT ln(V2/V1). (3)

С учетом (2) и (3) равенство (1) примет вид

DS=(m/M)R ln(V2/V1). (4)

Подставив в (4) числовые значения и произведя вычисления, по­лучим

DS=(10×10-3/(32×10-3)) ×8,31 ln(100×10-3/(25×10-3)) Дж/К=3,60 Дж/К.

Задачи

 



©2015- 2017 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.